Общая постановка задачи исследования операции. Оптимизация решения в условиях неопределенности

В предыдущем параграфе мы рассмотрели самый простой, пол­ностью детерминированный случай, когда все условия операции а1, а2,... известны, и любой выбор решения х1, х2,... приводит к впол­не определенному значению показателя эффективности W.

К сожалению, этот простейший случай не так уж часто встре­чается на практике. Гораздо более типичен случай, когда не все условия, в которых будет проводиться операция, известны зара­нее, а некоторые из них содержат элемент неопределенности. Напри­мер, успех операции может зависеть от метеорологических условий, которые заранее неизвестны, или от колебаний спроса и предложения, заранее трудно предвидимых, связанных с капризами моды, или же от поведения разумного противника, действия которого заранее неиз­вестны.

В подобных случаях эффективность операции зависит уже не от двух, а от трех категорий факторов:

— условия выполнения операции а1, а2,..., которые известны за­ранее и изменены быть не могут;

— неизвестные условия или факторы Y1, Y2,...;

— элементы решения х1, х2,..., которые нам предстоит выбрать. Пусть эффективность операции характеризуется некоторым пока­зателем W, зависящим от всех трех групп факторов. Это мы запишем в виде общей формулы:

W=W(a1, а2,...; Y1, Y2,...; х1, х2,...).

Если бы условия Y1, У2,... были известны, мы могли бы заранее подсчитать показатель W и выбрать такое решение х1, х2,..., при кото­ром он максимизируется. Беда в том, что параметры Y1,Y2,... нам не­известны, а значит, неизвестен и зависящий от них показатель эффек­тивности W при любом решении. Тем не менее задача выбора решения по-прежнему стоит перед нами. Ее можно сформулировать так:

При заданных условиях а1, а2, …, с учетом неизвестных факторов Y1, y 2,... найти такие элементы решения х1, х2,..., которые по воз­можности обращали бы в максимум показатель эффективности W.

Это — уже другая, не чисто математическая задача (недаром в ее формулировке сделана оговорка «по возможности»). Наличие неизвест­ных факторов Y1, Y2,... переводит нашу задачу в другую категорию' она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределен­ности.

Давайте будем честны: неопределенность есть неопределенность. Если условия выполнения операции неизвестны, мы не имеем возмож­ности, так же успешно организовать ее, как мы это сделали бы, если бы располагали большей информацией. Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже решения, принятого во вполне определенной ситуации. Наше дело — сообщить своему решению в наи­большей возможной мере черты разумности. Решение, принятое в ус­ловиях неопределенности, но на основе математических расчетов, бу­дет все же лучше решения, выбранного наобум. Недаром один из вид­ных зарубежных специалистов — Т. Л. Саати в книге «Математичес­кие методы исследования операций» дает своему предмету следую­щее ироническое определение:

«Исследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».

Задачи о выборе решения в условиях неопределенности встречают­ся нам в жизни на каждом шагу. Пусть, например, мы собрались ехать в отпуск, взяв с собой чемодан ограниченного объема, причем вес че­модана не должен превышать того, при котором мы можем носить его без посторонней помощи (условия а1, а2,...). Погода в районах путе­шествия заранее неизвестна (условия Y1, Y2,...). Спрашивается, ка­кие предметы одежды (х1, х2,...) следует взять с собой?

Эту задачу мы, разумеется, решаем без всякого математического аппарата, хотя, по-видимому, не без опоры на какие-то численные дан­ные (хотя бы на вероятности морозной или дождливой погоды в районах путешествия в данное время года). Однако, если нужно принять более серьезное и ответственное решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в районе возможных паводков, или о выборе типа посадочного устройства для посадки на планету с неизвестными свойствами поверхности, или о выборе образца вооружения для борьбы с противником, характеристики которого заранее неизвестны), то выбору решения в обязательном порядке должны быть предпосланы математические расчеты, облегчающие этот выбор и сообщающие ему, в доступной мере, черты разумности.

Применяемые при этом методы существенно зависят от того, ка­кова природа неизвестных факторов Y1, Y 2,… и какими ориентиро­вочными сведениями о них мы располагаем.

Наиболее простым и благоприятным для расчетов является слу­чай, когда неизвестные факторы Y1, Y 2,… представляют собой слу­чайные величины (или же случайные функции), о которых имеются статистические данные, характеризующие их распределение.

Пусть, например, мы рассматриваем работу железнодорожной сортировочной станции, стремясь оптимизировать процесс обслужива­ния прибывающих на эту станцию грузовых поездов. Заранее неизвест­ны ни точные моменты прибытия поездов, ни количество вагонов в каж­дом поезде, ни адреса, по которым направляются вагоны. Все эти ха­рактеристики представляют собой случайные величины, закон распределения каждой из которых (и их совокупности) может быть определен по имеющимся данным обычными методами математи­ческой статистики.

Аналогично, в каждой военной операции присутствуют случай­ные факторы, связанные с рассеиванием снарядов, со случайностью моментов обнаружения целей и т. п. В принципе все эти факторы могут быть изучены методами теории вероятностей, и для них могут быть по­лучены законы распределения (или, по крайней мере, числовые харак­теристики).

В случае, когда неизвестные факторы, фигурирующие в опера­ции — Y1, Y 2,…. — являются обычными случайными величинами (или случайными функциями), распределение которых, хотя бы ориен­тировочно, известно, для оптимизации решения может быть применен один из двух приемов:

— искусственное сведение к детерминированной схеме;

— «оптимизация в среднем».

Остановимся более подробно на каждом из этих приемов. Первый прием сводится к тому, что неопределенная, вероятност­ная картина явления приближенно заменяется детерминированной. Для этого все участвующие в задаче случайные факторы Y1, Y 2,…. приближенно заменяются не случайными (как правило, их математи­ческими ожиданиями).

Этот прием применяется по преимуществу в грубых, ориентиро­вочных расчетах, когда диапазон случайных изменений величин Y1, Y 2,…. сравнительно мал, т. е. они без большой натяжки могут рас­сматриваться как не случайные. Заметим, что тот же прием замены случайных величин их математическими ожиданиями может успешно применяться и в случаях, когда величины Y1, Y 2,…. обладают боль­шим разбросом, но показатель эффективности W зависит от них ли­нейно (или почти линейно).

Второй прием («оптимизация в среднем»), более сложный, при­меняется, когда случайность величин Y1, Y 2,…. весьма существенна и замена каждой из них ее математическим ожиданием может привес­ти к большим ошибкам.

Рассмотрим этот случай более подробно. Пусть показатель эф­фективности W существенно зависит от случайных факторов (будем для простоты считать их случайными величинами) Y1, Y 2,….; допус­тим, что нам известно распределение этих факторов, скажем, плот­ность распределения f (Y1, Y 2,…). Предположим, что операция выпол­няется много раз, причем условия Y1, Y 2,… меняются от раза к разу случайным образом. Какое решение х1, х2,... следует выбрать? Очевидно, то, при котором операция в среднем будет наиболее эффективна, т. е. математическое ожидание показателя эффектив­ности W будет максимально. Таким образом, нужно выбирать такое решение X1, Х2,..., при котором обращается в максимум математиче­ское ожидание показателя эффективности:

W=M[W}==

= = …. W(a1, a2,…; y1,y2,…; x1,x2…) (y1,y2,...) dy1dy2….

Такую оптимизацию мы будем называть «оптимизацией в сред­нем».

А как же с элементом неопределенности? Конечно, в какой-то ме­ре он сохраняется. Успешность каждой отдельной операции, осущест­вляемой при случайных, заранее неизвестных значениях Y1, Y 2,… может сильно отличаться от ожидаемой средней, как в большую, так, к сожалению, и в меньшую сторону. При многократном осуществлении операции эти различия, в среднем, сглаживаются; однако, нередко данный способ оптимизации решения, за неимением лучшего, применяется и тогда, когда операция осуществляется всего несколько раз или даже один раз. Тогда надо считаться с возможностью неприят­ных неожиданностей в каждом отдельном случае. Утешением нам мо­жет служить мысль о том, что «оптимизация в среднем» все же лучше, чем выбор решения без всяких обоснований. Применяя этот прием к многочисленным (хотя бы и различным) операциям, все же мы в сред­нем выигрываем больше, чем если бы совсем не пользовались расчетом.

Для того, чтобы составить себе представление о том, чем мы рис­куем в каждом отдельном случае, желательно, кроме математическо­го ожидания показателя эффективности, оценивать также и его дис­персию (или среднее квадратическое отклонение).

Наиболее трудным для исследования является тот случай неопре­деленности, когда неизвестные факторы Y1, Y 2,… не могут быть изу­чены и описаны с помощью статистических методов: их законы распре­деления или не могут быть получены (соответствующие статистические данные отсутствуют), или, что еще хуже, таких законов распределения вовсе не существует. Это бывает, когда явление, о котором идет речь, не обладает свойством статистической устойчивости. Например, мы знаем, что на Марсе возможно наличие органической жизни, и некото­рые ученые даже считают его весьма вероятным, но совершенно невоз­можно подсчитать эту вероятность на основе каких-либо статистичес­ких данных. Другой пример: предположим, что эффективность проек­тируемого вооружения сильно зависит от того, будет ли предполагае­мый противник к моменту начала боевых действий располагать сред­ствами защиты, и если да, то какими именно? Очевидно, нет никакой возможности подсчитать вероятности этих гипотез — самое большее, их можно назначить произвольно, что сильно повредит объективности исследования.

В подобных случаях, вместо произвольного и субъективного на­значения вероятностей с дальнейшей «оптимизацией в среднем», ре­комендуется рассмотреть весь диапазон возможных условий Y1, Y 2,… и составить представление о том, какова эффективность операции в этом диапазоне и как на нее влияют неизвестные условия. При этом задача исследования операций приобретает новые методологические особен­ности.

Действительно, рассмотрим случай, когда эффективность опера­ции W зависит, помимо заданных условий а1,a2,... и элементов реше­ния х1, х 2,…, еще и от ряда неизвестных факторов Y1, Y 2,… нестати­стической природы, о которых никаких определенных сведений нет, а можно делать только предположения. Попробуем все же решить за­дачу. Зафиксируем мысленно параметры Y1, Y 2,…, придадим им вполне определенные значения Y1=у1, Y 2=у2,..., и переведем тем самым в категорию заданных условий а1, а2,.... Для этих усло­вий мы в принципе можем решить задачу исследования операций и найти соответствующее оптимальное решение х1, х2,... Его элементы, кроме заданных условий а1, а2,..., очевидно, будут зависеть еще и от того, какие частные значения мы придали условиям Y1, Y 2,…:

х1=х1(а1, а2,…; у1, у2,…);

х2=х2(а1, а2,…; у1, у2,…).

Такое решение, оптимальное для данной совокупности условий у1, у2,… (и только для нее), называется локально-оптимальным. Это решение, как правило, уже не оптимально для других значений Y1, Y 2,…. Совокупность локально-оптимальных решений для всего диа­пазона условий Y1, Y 2,…  дает нам представление о том, как мы дол­жны были бы поступать, если бы неизвестные условия Y1, Y 2,… были нам в точности известны. Поэтому локально-оптимальное реше­ние, на получение которого зачастую тратится много усилий, имеет в случае неопределенности сугубо ограниченную ценность. Совершен­но очевидно, что в данном случае следует предпочесть не решение, строго оптимальное для каких-то определенных условий, а ком­промиссное решение, которое, не будучи, может быть, стро­го оптимальным ни для каких условий, оказывается приемлемым в целом диапазоне условий.

В настоящее время полноценной математической «теории компро­мисса» еще не существует, хотя в теории решений и имеются некоторые попытки в этом направлении. Обычно окончательный выбор компромиссного решения осуществ­ляется человеком, который, опираясь на расчеты, может оценить и со­поставить сильные и слабые стороны каждого варианта решения в раз­ных условиях и на основе этого сделать окончательный выбор. При этом необязательно (хотя иногда и любопытно) знать точный локаль­ный оптимум для каждой совокупности условий у1, у2, …. Таким об­разом, классические вариационные и новейшие оптимизационные ме­тоды математики отступают в данном случае на задний план.

В последнюю очередь рассмотрим своеобразный случай, возни­кающий в так называемых конфликтных ситуациях, когда неизвестные параметры Y1, Y 2,… зависят не от объективных обстоятельств, а от активно противодействующего нам против­ника. Такие ситуации характерны для боевых действий, отчасти для спортивных соревнований, в капиталистическом обществе — для конкурентной борьбы и т. д.

При выборе решений в подобных случаях может оказаться по­лезным математический аппарат так называемой теории игр — математической теории конфликтных ситуаций. Модели конфликтных ситуаций, изучаемые в теории игр, основаны на пред­положении, что мы имеем дело с разумным и дальновидным противни­ком, всегда выбирающим свое поведение наихудшим для нас (и наилуч­шим для себя) способом. Такая идеализация конфликтной ситуации в некоторых случаях может подсказать нам наименее рискованное, «перестраховочное» решение, которое необязательно принимать, но, во всяком случае, полезно иметь в виду.

Наконец, сделаем одно общее замечание. При обосновании реше­ния в условиях неопределенности, что бы мы ни делали, элемент не­определенности остается. Поэтому неразумно предъявлять к точности таких решений слишком высокие требования. Вместо того, чтобы пос­ле скрупулезных расчетов однозначно указать одно-единственное, в точности оптимальное (в каком-то смысле) решение, всегда лучше вы­делить область приемлемых решений, которые оказываются несущественно хуже других, какой бы точкой зрения мы ни пользо­вались. В пределах этой области могут произвести свой окончатель­ный выбор ответственные за него лица.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1234	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: