 |
Выходное напряжение по методу разложения в ряд Фурье с использованием полученных АЧХ и ФЧХ фильтра
|
|
|
|
Курсовая работа
1. Периодический сигнал, номер которого совпадает со второй цифрой номера варианта, разложить на гармоники, получив первые 7 отличных от нуля гармоник.
2. Для полосы частот рассчитать фильтр, обеспечив его согласование на выходе с сопротивлением нагрузки 
.
3. Для полученного фильтра составить выражение передаточной функции 
, а затем, используя программу, найти АЧХ и ФЧХ.
4. Используя разложение, полученное в пунктах 1 и 3 построить график изменения напряжения на выходе фильтра.
5. Методом Рунге-Кутта получить переходную характеристику с учётом нагрузки.
6. Считая, что на входе фильтра действует одиночный импульс той же формы, что и в пункте 1, по найденной переходной характеристике найти напряжение на выходе фильтра. Сравнить полученные в пунктах 4 и 6 напряжения.
Вариант 67
| № | тип фильтра | граничная частота | , Ом
|  , В
|  , мс
|
| ФВЧ, m-типа (m=0.7), Т-образный | 
|
|
Разложение периодического сигнала на гармоники
Теория.
Гармонический анализ заключается в разложении периодического электрического сигнала (в данном случае напряжения) в тригонометрический ряд Фурье:
,
где коэффициенты 
и 
определяются следующим образом
и 
;
частота k-ой гармоники 
, где 
– период данного входного сигнала 
.
Так как ряд Фурье является приближённым представлением сигнала, то важными являются скорость сходимости и точности приближения, которые при конечном числе членов разложения зависят от степени гладкости сигнала на числовой оси (т.е. от числа непрерывных производных).
Практическая часть.
С помощью программы MathCad получено разложение входного сигнала в виде трёх таблиц (для частот 
и коэффициентов 
и 
), а также графическое представление этого разложения.
|
|
|
Примечание: размерности коэффициентов 
, частот 
.
Таким образом, разложение входного сигнала в гармонический ряд имеет вид:
Синтез фильтра
Теория.
Электрическим фильтром называется четырёхполюсник с заданными частотными характеристиками. Эти устройства служат для пропускания одних частей спектра входного сигнала и подавления других. Основой для синтеза фильтров служат Г-образные звенья (или полузвенья), приведённые в таблице[*].
| ФНЧ | ФВЧ | ПФ | ЗФ | |
| Схема полузвена | 
| 
| 
| 
|
| Формулы для расчета | 
| 
| 
| 
|
Практическая часть.
За основу используем полузвено ФВЧ из таблицы; затем преобразуем его в последовательно-производное полузвено m-типа: заменяем 
, а
находим из равенства 
, получим 
.
Затем из 2-ух Г-образных звеньев получаем фильтр с Т-образной конструкцией, согласованный на выходе с сопротивлением нагрузки.
Данный фильтр высоких частот (ФВЧ) m-типа, Т-образный представлен на рисунке.
граничная частота 
;
элементы фильтра:
,
,
.
Передаточная функция. Построение АЧХ и ФЧХ
Теория.
Передаточной функцией электрической цепи 
называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала 
к изображению входного сигнала 
. Для нахождения передаточной функции используют операторный метод. Подставляя в полученном выражении 
, получают частотную передаточную функцию 
, представляющую собой (при фиксированном значении частоты 
) комплексное число. Функция 
называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а функция 
– фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
Практическая часть.
Применим операторный метод:
заменим индуктивности и ёмкости соответственно на 
и 
;
обозначим
|
|
|
и 
;
выразим выходное напряжение через входное
значит передаточная функция
для полученных в пункте 2 элементов рассчитаем
.
Далее представлены графики АЧХ и ФЧХ, полученные с помощью программы.
Пунктиром указана частота среза:
.
Амплитудно-частотная характеристика
|
.
|
, 1/с
Фазо-частотная характеристика
|
, град
.
|
Выходное напряжение по методу разложения в ряд Фурье с использованием полученных АЧХ и ФЧХ фильтра
Теория.
Если разложение входного сигнала в ряд Фурье имеет вид:
, то
учитывая частотную зависимость передаточной функции по напряжению, получим
.
Т.е. необходимо для каждой гармоники рассчитать АЧХ и ФЧХ и подставить в это выражение.
Практическая часть.
На графике представлены разложение входного сигнала в ряд Фурье (полученное в пункте 1) и выходное напряжение, построенное на основе этого разложения и полученных в пункте 3 АЧХ и ФЧХ данного фильтра. Временной интервал: 2 периода.
|
|
, мс
Переходная характеристика
Теория.
Переходной характеристикой электрической цепи 
называется отклик этой цепи на единичную функцию 
. Переходную характеристику легко найти, если известна передаточная функция:
.
Переход от изображения по Лапласу к оригиналу производится с помощью теоремы разложения. Если изображение имеет вид рациональной дроби 
и знаменатель этой дроби не содержит кратных корней, то
,
где 
– корень многочлена 
. В случае кратных корней следует пользоваться обобщённой теоремой разложения.
Неопределённый интеграл от переходной характеристики необходим для составления выходного напряжения (пункт 6):
.
Практическая часть.
Используя полученное в пункте 3 выражение передаточной функции, получим
;
числитель: 
,
знаменатель: 
,
корни знаменателя: 
, 
, 
,
производная: 
.
Применяя теорему разложения, получим для размерности времени 
:
Интеграл от переходной характеристики:
.
|
Значение переходной характеристики
|
.
|
|
|
|
Значение интеграла от переходной характеристики
|
, мс
.
|
|
|
|
