Методические указания к лабораторным работам по физике для студентов всех специальностей.
Лабораторная работа № 72. ²Распределение Больцмана" / Казанский государственный архитектурно-строительный университет. Составитель: Л. И. Потапова (под редакцией В. В. Алексеева, Л. И. Маклакова). Казань, 2009 г., 11 с.
В работе с помощью программы ЭВМ моделируется поведение молекул газа в гравитационном поле с целью изучения закона распределения молекул по высоте над поверхностью Земли.
Рис. 2, табл. 2.
Рецензент: профессор кафедры электротехники и автоматики Казанского государственного архитектурно-строительного университета
Р. К. Сафиуллин
Ó Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 2009 г.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Существует множество событий, которые могут произойти или не произойти. Их называют случайными. Рост юноши, явившегося на воинский призыв, или число прохожих, пересекающих определённый перекресток в определённые часы, — всё это примеры случайных событий. Наблюдая множество однотипных событий, можно отчёт о таких наблюдениях оформить в виде кривых распределения.
Если построить график, по горизонтальной оси которого отложена случайная величина, а по вертикальной — число случайных событий, то полученная кривая представляет собой кривую распределения (рис. 1).
Замечательной особенностью кривых распределения является их воспроизводимость. Так, если построить кривые распределения, анализирующие рост призывников ряда лет, то можно убедиться в их полном подобии. В то же время такого подобия нельзя будет найти, изучая кривые распределения роста на основании лишь небольшого числа измерений, т. е. ограничившись наблюдениями, к примеру, на одном участке сбора призывников. Если же увеличивать материал (число юношей-призывников), положенный в основу построения каждой кривой, то кривые разных лет будут становиться всё более и более похожими.
Закон распределения той или иной случайной величины, выполняющийся тем лучше, чем для большего числа событий построена кривая распределения, носит название статистического закона.
Понятие статистического закона используется не только в мире общественных явлений, но и в физике. Физические закономерности, которые возникают в больших собраниях однородных объектов (например, атомов или молекул) являются статистическими.
Наилучшим примером большой неупорядоченной совокупности однородных объектов, в которой обнаруживаются различного рода статистические закономерности, являются атомы и молекулы, из которых состоит газ. Само слово «газ» происходит от греческого «chaos» (хаос).
Молекулы газа непрерывно движутся, сталкиваются друг с другом, меняя при каждом столкновении свою скорость по величине и направлению. При нормальных условиях (температуре 0°С и давлении 1 атм = 1,013×105 Па), когда в 1 м3 газа содержится 2,68×1025 молекул (число Лошмидта), каждая молекула испытывает несколько миллиардов столкновений в секунду. При столь беспорядочном характере теплового движения в газе невозможно изучить отдельно движение каждой молекулы.
Для объяснения различных свойств газа, например, температуры или давления, с точки зрения теплового движения атомов и молекул используются статистические предсказания о поведении молекул. Огромное число молекул, приходящееся на самый малый объём вещества, делает такого рода предсказания особо точными.
Некоторые представления о распределении молекул сразу же следуют из хаотичности теплового движения. Это относится к распределению молекул по направлениям скоростей или к распределению молекул по объёму, когда на газ не действуют какие-либо силы. В этом случае все направления движения молекул равновероятны, и молекулы равномерно распределены по занимаемому газом объёму. Однако имеется множество событий, результат которых нельзя предсказать заранее, если основываться только на хаотичности теплового движения.
Прежде всего, возникает вопрос о распределении молекул по величинам скоростей в отсутствие внешних воздействий. На него отвечает закон распределения молекул по скоростям, выведенный во второй половине XIX века теоретическим путём выдающимся английским физиком Джеймсом Максвеллом. Этот закон определяет понятие наиболее вероятной скорости uв движения молекул, которая зависит от молярной массы mгаза и его температуры Т:
(1)
где R = 8,31 Дж/(моль×К) — универсальная газовая постоянная. Физический смысл наиболее вероятной скорости очевиден уже из названия: молекулы со скоростями, близкими к uв, встречаются в газе наиболее часто.
Развивая идеи Максвелла, австрийский физик-теоретик Людвиг Больцман обобщил закон распределения молекул по скоростям на случай, когда молекулы движутся в силовом поле (например, в гравитационном поле). Полученный им результат можно обозначить как закон распределения молекул по потенциальным энергиям Ер:
(2)
Здесь n — концентрация молекул, т. е. число молекул в единице объёма, в том месте пространства, где потенциальная энергия молекулы имеет значение Ер; n0 — концентрация молекул при
п 0
Ер= 0; k = 1,38×10–23 Дж/К — постоянная Больцмана; T — температура по шкале Кельвина. Суть закона Больцмана сводится к следующему: среди большой совокупности молекул, движущихся в силовом поле и обладающих различной потенциальной энергией, наибольшей энергии соответствует наименьшее число молекул.
В данной работе рассматривается применение закона Больцмана к решению вопроса о том, как изменяется равномерное распределение молекул по объёму газа, находящегося в гравитационном поле.
Предположим, что в жидкости находятся маленькие частички, видимые только в микроскоп. Их называют броуновскими частицами. Плотность этих частиц больше плотности жидкости, и они не растворяются в ней. На первый взгляд может показаться, что рано или поздно под действием силы тяжести эти частицы должны опуститься на дно. В действительности же всё происходит иначе. Под действием силы тяжести частицы действительно движутся вниз. Однако хаотическое тепловое движение броуновских частиц непрерывно препятствует действию силы тяжести. Так, какая-либо частица, двигаясь вниз, непременно испытывает столкновение с другой частицей, которое изменяет её направление движения. После этого частица опять продолжает движение вниз, но очередное столкновение вновь отбрасывает частицу вверх или в сторону. Если какой-то частице всё же удаётся добраться до дна сосуда, то взамен неё за счёт случайных ударов другая частица может быть поднята со дна и случайными толчками доведена до высоких слоёв жидкости. В результате будет установлено некоторое неравномерное распределение частиц по высоте сосуда. В верхних слоях жидкости частиц будет меньше, ближе ко дну сосуда — больше всего.
Потенциальная энергия Ер частицы массой m, находящейся в поле тяготения Земли на высоте h над её поверхностью, равна:
(3)
где g — ускорение свободного падения. Следовательно, формула распределения (2) запишется в виде:
(4)
п
h
Рис. 2
Здесь n (h) и n (0) — концентрации частиц на высоте h над поверхностью Земли и на нулевой высоте («на уровне моря») соответственно. Закон убывания числа частиц с высотой в гравитационном поле показан на рис. 2.
Из формулы (4) следует, что чем больше масса частиц и чем меньше температура, тем быстрее спадает кривая распределения. Кроме того, из этой формулы следует, что быстрота убывания зависит от ускорения свободного падения. Это означает, что на разных планетах частицы должны быть по-разному распределены с высотой.
При внимательном анализе закона (4) нетрудно увидеть, что какое-то, пусть очень малое, число молекул имеется на любой высоте над поверхностью Земли. Вследствие столкновений молекулы могут приобрести скорость 11,2 км/с, достаточную для ухода из сферы земного притяжения, и улететь в мировое пространство. Поэтому можно сказать, что Земля постепенно теряет свою атмосферу. Оценки скорости рассеяния атмосферы показывают, что потери ничтожно малы, и за всё время существования Земли было потеряно ничтожное количество воздуха. Другое дело на Луне, где скорость преодоления притяжения порядка 2 км/с. Такая невысокая скорость достигается молекулами с большой лёгкостью, поэтому на Луне и нет атмосферы.
Закон убывания числа частиц с высотой можно записать и для давления газа. Так как давление р газа пропорционально числу п частиц в единице объёма, то формулу (4) перепишем в виде:
(5)
где р (h) и р (0) — давления на высотах и соответственно. Полученную формулу называют барометрической. С её помощью метеорологи, производящие измерения атмосферного давления на больших высотах, приводят результаты своих измерений «к уровню моря».
Необходимо отметить ещё одно важное применение закона распределения частиц по высоте в гравитационном поле. В начале двадцатого столетия этот закон был использован французским учёным Жаном Перреном для экспериментального определения числа Авогадро, т. е. числа молекул в одном моле любого вещества. Он изучал эмульсию, получающуюся при растворении в воде частиц гуммигута (разновидности смолы деревьев, растущих в Ост-Индии и на Цейлоне). При помощи центрифуги Перрен сортировал зёрнышки гуммигута по размеру и готовил эмульсию таким образом, чтобы в ней содержались частицы одинакового размера, следовательно, и массы. Опыт сводился к определению отношения концентраций частиц, измеренных на различных по высоте уровнях эмульсии. Делалось это путём фокусирования микроскопа на достаточно тонкий слой эмульсии и подсчёта числа частиц в поле зрения за одинаковые промежутки времени. Если концентрации частиц в слоях, лежащих на высотах h1 и h2, соответственно равны n (h1) и n (h2), то согласно (4) искомое отношение равно
(6)
Меняя в широких пределах вязкость эмульсии и размеры зёрен, Перрен всякий раз наблюдал, что отношение концентраций соответствовало закону (6). Этот результат позволил ему сделать следующий шаг и рассчитать число Авогадро NA, которое в неявном виде присутствует в этом законе. Действительно, если учесть, что постоянная Больцмана k = R/NA, то показатель экспоненты в последней формуле можно переписать как Тогда, логарифмируя уравнение (6), а затем решая его относительно NA, получим:
(7)
Все величины, стоящие в правой части формулы (7), известны из опыта. Произведённые Перреном вычисления показали, что число Авогадро — величина порядка 6×1023 молекул на моль. В дальнейшем это значение было уточнено, и по современным данным NA= 6,023×1023 моль-1.
ОПИСАНИЕ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ ЭВМ
В данной работе с помощью программы ЭВМ, моделирующей поведение молекул газа в гравитационном поле, предлагается повторить опыт Перрена. Конечно, такая аналогия в определённой степени условна и справедлива лишь в отношении конечной цели (определения числа Авогадро) и способа её достижения (построение графиков функции (4)).
Программа выводит на экран графического дисплея ЭВМ хаотично движущиеся точки, которые изображают реальные молекулы. Точки, перемещаясь по экрану, имитируют движение группы молекул, выделенной для наблюдения среди множества других, невидимых на экране, молекул газа. Точки-молекулы непрерывно сталкиваются между собой и после каждого столкновения отскакивают в случайных направлениях.
Задача работы заключается в подсчёте числа точек-молекул, попадающих в квадрат наблюдения при расположении его на различных высотах h. При этом нужно иметь в виду следующее. Если многократно подсчитывать количество молекул в каком-то ограниченном объёме газа, то в силу хаотического теплового движения молекул газа при различных подсчётах будут получены несколько отличные цифры. Поэтому, когда говорят о числе молекул, находящихся в определённом объёме, равно как о числе молекул, имеющих такие-то скорости или движущихся туда-то, всегда подразумевают среднее значение соответствующего числа. Если число молекул газа велико, то отклонения мгновенных значений от средних будут ничтожными. Такие отклонения называют флуктуациями. В сильно разреженных газах они могу стать значительными.
Для того чтобы среди столь малого числа молекул выявить закон распределения частиц по высоте в гравитационном поле, необходимо при каждом значении высоты производить несколько (не менее пяти) отсчётов числа ni точек-молекул, попавших в выделенный квадрат наблюдения. По окончании серии отсчётов рассчитайте среднее значение nср числа молекул в поле наблюдения на данной высоте:
(8)
где N — число произведённых отсчётов в серии.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Включите или перезагрузите компьютер.
2. Откройте папку «Работа №72».
3. На экране монитора ЭВМ высвечивается титульное изображение с названием работы. Введите свои данные и нажмите на кнопку "ОК".
4. Введите температуру Т (в К) из интервала от 200 до 500 К.
5. По указанию преподавателя из таблицы 1, в которой представлен средний химический состав сухого атмосферного воздуха (на уровне моря), выберите значение молярной массы m, соответствующие им массы m молекул, а также максимально допустимые высоты наблюдения hmax.
6. Проведите измерение параметров модели — среднего числа nср точек-молекул, попавших в квадрат наблюдения, наблюдая процесс теплового хаотического движения молекул.
ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ
1. При температуре Т из интервала от 200 до 500 К и двух различных значениях молярной массы mполучите зависимости среднего числа nср точек-молекул, попавших в квадрат наблюдения, от высоты h. При получении указанных зависимостей необходимо использовать 5 ¸ 10 значений h, равномерно распределённых в интервале от 0 до hmax. На каждой высоте параметр nср должен быть определён из статистики, включающей не менее пяти измерений ni. Результаты оформите в виде таблицы 2.
2. Проверьте закон распределения частиц по высоте в гравитационном поле (уравнение (4)). С этой целью для обоих значений m постройте графики зависимостей ln(ncp)от h. Если зависимости окажутся линейными, это будет означать, что они соответствуют данному закону.
3. Проследите, как влияет молярная масса газа на распределение частиц по высоте (для этого обе полученные зависимости ln(ncp)от h удобно построить на одном графике). Вывод запишите.
4. Используя одну из построенных зависимостей ln(ncp) от h, рассчитайте число Авогадро NA по формуле (7). Сравните полученное значение NA с табличным значением.
1. Что называется статистическим законом? Почему для объяснения свойств газа используются статистические предсказания?
2. Как распределены молекулы газа по направлениям скоростей движения, по объёму, когда на газ не действуют какие-либо внешние силы?
3. В чём смысл закона, устанавливаемого распределением Максвелла? Дайте определение наиболее вероятной скорости движения молекул газа.
4. Запишите формулу распределения Больцмана и объясните суть этого закона.
5. Поясните, как распределяются по высоте молекулы газа или броуновские частицы, находящиеся в гравитационном поле? Какой закон описывает это распределение?
6. Что определяет формула, называемая барометрической?
7. Расскажите об опыте Перрена.
ФИЗИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 72
“РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА”
для студентов всех специальностей
Составитель: Потапова Людмила Ильинична
Редактор
Редакционно-издательский отдел Казанского
государственного архитектурно-строительного университета
Если построить график, по горизонтальной оси которого отложена случайная величина, а по вертикальной — число случайных событий, то полученная кривая представляет собой кривую распределения (рис. 1).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
и 
соответственно. Полученную формулу называют барометрической. С её помощью метеорологи, производящие измерения атмосферного давления на больших высотах, приводят результаты своих измерений «к уровню моря».
(6)
Тогда, логарифмируя уравнение (6), а затем решая его относительно N A, получим:
(7)
(8)