Упражнения при подготовке к самостоятельной

Тема 1.6. Центр тяжести

Иметь представление о системе параллельных сил и центре системы параллельных сил, о силе тяжести и центре тяжести.

Знать методы для определения центра тяжести тела и фор­мулы для определения положения центра тяжести плоских фигур.

Уметь определять положение центра тяжести простых гео­метрических фигур, составленных из стандартных профилей.

Сила тяжести

Сила тяжести — равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена по всему объему тела. Силы притяжения, прило­женные к частицам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходят­ся в центре Земли (рис. 8.1). Поскольку ради­ус Земли значительно больше размеров лю­бого земного тела, силы притяжения можно считать параллельными.

Точка приложения силы тяжести

Для определения точки приложения силы тяжести (равнодей­ствующей параллельных сил) используем теорему Вариньона о мо­менте равнодействующей:

Момент равнодействующей относительно оси равен алгебра­ической сумме моментов сил системы относительно этой оси.

Изображаем тело, составленное из некоторых частей, в про­странственной системе координат (рис. 8.2).

Тело состоит из частей, силы тяжести которых q k приложены в центрах тяжести (ЦТ) этих частей.

Пусть равнодействующая (сила тяжести всего тела) приложена в неизвестном пока центре С.

ХС, УС, ZС— координаты центра тяжести С.

Xk, Уk и Zk — координаты центров тяжести частей тела.

Тема 1.6. Центр тяжести 61

Из теоремы Вариньона следует:

Центр тяжести однородных плоских тел

(плоских фигур)

Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V = Ah, где А — площадь фигуры, h — ее высота.

Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим:

 

62 Лекция 8

Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральны­ми осями. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.

Определение координат центра тяжести

Плоских фигур

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Поло­жения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — ква­драт, прямоугольник; в) — треугольник; г) — полукруг).

 

 

При решении задач используются следующие методы:

Тема 1.6. Центр тяжести 63

1) метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур находится на оси симметрии;

2) метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько
простых частей, положение центров тяжести которых легко определить;

3) метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.

Решение

 

Пример 2. Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5).

Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, создавая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.

Для стандартных прокатных профилей собственные геометри­ческие характеристики известны. Они приводятся в соответствую­щих стандартах.

64 Лекция 8

 

Решение

1. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необходимые данные:

1 — швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота h = 100 мм; ширина полки b = 46 мм; площадь сечения А1 = 10,9 см²;

2 — двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина пол­ки 81 мм; площадь сечения А2 = 20,2 см²;

3 — лист 5x100; толщина 5 мм; ширина 100 мм; площадь сече­ния Аз = 0,5 • 10 = 5 см².

2. Координаты центров тяжести каждой фигуры можно опреде­лить по чертежу.

Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести нахо­дится на оси симметрии и координата Xс = 0.

 

 

 

Тема 1.6. Центр тяжести 65

Контрольные вопросы и задания

1. Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки тела, можно принять за систему параллельных сил?

2. Запишите формулы для определения положения центра тя­жести неоднородных и однородных тел, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений.

3. Повторите формулы для определения положения центра тяже­сти простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга.

4. Что называют статическим моментом площади?

5. Вычислите статический момент данной фигуры относительно оси Ox. h = 30 см; b = 120 см; с = 10 см (рис. 8.6).

 

6. Определите координаты центра тяжести заштрихованной фигуры (рис. 8.7). Размеры даны в мм.

7. Определите координату у фигуры 1 составного сечения
(рис. 8.8).

При решении воспользоваться справочными данными таблиц ГОСТ «Сталь горячекатанная» (см. Приложение 1).

 

 

146 Практическое занятие 3

Практическое занятие 3

Тема 1.6. Центр тяжести

Знать методы определения центра тяжести тела и плоских сечений, формулы для определения положения ЦТ плоских сечений.

Уметь определять положение центра тяжести сложных гео­метрических фигур, определять положение центра тяжести фи­гур, составленных из стандартных профилей.

Основные формулы и предпосылки расчета

Центры тяжести простейших сечений (рис. П3.1)

Геометрические характеристики стандартных прокатных профилей в Приложении 2.

Методы расчета:

1) метод симметрии;

2) метод разделения на простые части;

3) метод отрицательных площадей.

Координаты центров тяжести сложных и составных сечений:

где Ak — площади частей сечения; xk; yk — координаты ЦТ частей cечения; А —

n

суммарная площадь сечения, А = ∑ Ак.

 

Практическое занятие 3 147

Упражнения при подготовке к самостоятельной

Работе

1. Определить положение центра тяжести каждой из фигур, составляющих сечение (рис. П3.2). Размеры на чертеже указаны в мм.

2. Определить координату хс изображенного сечения (рис. ПЗ.З).
Замечание. Сечение расчленить на три части.

3. Сколько координат центра тяжести нужно определять расчетным путем для каждого из изображенных сечений (рис. П3.4)?

4. По таблицам ГОСТ определить необходимые параметры сечений (рис. П3.5).

5. Определить координату ус фигуры (рис. П3.5).

6. Какая характеристика сечения определяется по указанной формуле?

148 Практическое занятие 3

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: