 |
Движение материальной точки.
|
|
|
|
Тема 1.13. Движение материальной точки.
Метод кинетостатики
Иметь представление о свободных и несвободных материальных точках, о силах инерции, об использовании силы инерции для решения технических задач.
Знать формулы для расчета силы инерции при поступательном и вращательном движениях, знать принцип Даламбера и уметь определять параметры движения с использованием законов динамики и метода кинетостатики.
Свободная и несвободная точки
Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи решаются с помощью основного закона динамики.
Материальные точки, движение которых ограничено связями, называются несвободными.
Для несвободных точек необходимо определять реакции связей. Эти точки движутся под действием активных сил и ограничивающих движение реакций связей (пассивных сил).
Несвободные материальные точки освобождаются от связей: связи заменяются их реакциями. Далее несвободные точки можно рассматривать как свободные (принцип освобождаемое от связей).
Сила инерции
Инертность — способность сохранять свое состояние неизменным, это внутреннее свойство всех материальных тел.
Сила инерции — сила, возникающая при разгоне или торможении тела (материальной точки) и направленная в обратную сторону от ускорения. Силу инерции можно измерить, она приложена к «связям» — телам, связанным с разгоняющимся или тормозящимся телом.
Рассчитано, что сила инерции равна F ин = / ma /.
Тема 1.13. Движение материальной точки 101
Таким образом, силы, действующие на материальные точки m1 и m2 (рис. 14.1), при разгоне платформы соответственно равны
|
|
|
Разгоняющееся тело (платформа с массой т (рис. 14.1)) силу инерции не воспринимает, иначе разгон платформы вообще был бы невозможен. При вращательном движении (криволинейном) возникающее ускорение принято представлять в виде двух составляющих: нормального ап и касательного at (рис. 14.2).
Поэтому при рассмотрении криволинейного движения могут возникнуть две составляющие силы инерции: нормальная и касательная
При равномерном движении по дуге всегда возникает нормальное ускорение, касательное ускорение равно нулю, поэтому действует только нормальная составляющая силы инерции, направленная по радиусу из центра дуги (рис. 14.3).
ω = const
Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)
Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач. Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разгоняющимся телом (к связям).
102 Лекция 14
Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к активно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к материальной точке, становится уравновешенной, и можно при решении задач динамики использовать уравнения статики.
Принцип Даламбера:
Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в равновесии:
Порядок решения задач с использованием принципа Даламбера
1. Составить расчетную схему.
2. Выбрать систему координат.
3. Выяснить направление и величину ускорения.
4. Условно приложить силу инерции.
5. Составить систему уравнений равновесия.
6. Определить неизвестные величины.
Примеры решений задач
Пример 1. Рассмотрим движение платформы по шероховатой поверхности с ускорением (рис. 14.4).
Решение
Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Реакция в опоре R. Прикладываем силу инерции в обратную от ускорения сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу, становится уравновешенной, и можно составить уравнения равновесия. Наносим систему координат и составляем уравнения проекций сил.
|
|
|
Тема 1.13. Движение материальной точки 103
Пример 2. Тело весом 3500 Н движется вверх по наклонной плоскости согласно уравнению S = 0,16t2 (рис. 14.5). Определить величину движущей силы, если коэффициент трения тела о плоскость f = 0,15.
Решение
1. Составим расчетную схему, выберем систему координат с осью
Ох вдоль наклонной плоскости.
Активные силы: движущая, сила трения, сила тяжести. Наносим реакцию в опоре перпендикулярно плоскости. Чтобы верно направить силу инерции, необходимо знать направление ускорения, определить это можно по уравнению движения.
При а > 0 движение равноускоренное.
2.Определяем ускорение движения: а = v' = S"; v = S' = 0,32t; а = v' = 0,32 м/с2 > 0.
Силу Fин направим в обратную от ускорения сторону.
3.По принципу Даламбера составим уравнения равновесия:
104 Лекция 14
4. Подставим все известные величины в уравнения равновесия:
Выразим неизвестную силу и решим уравнение:
Пример 3. График изменения скорости лифта при подъеме известен (рис. 14.6). Масса лифта с грузом 2800 кг. Определить натяжение каната, на котором подвешен лифт на всех участках подъема.
Решение
1. Рассмотрим участок 1 — подъем с ускорением.
Составим схему cил (рис. 14.7). Уравнение равновесия кабины лифта:
где Т — натяжение каната; G — сила тяжести; Fин — сила инерции, растягивающая канат.
Для определения ускорения на участке 1 учтем, что движение на этом участке равнопеременное, скорость v = v 0 + at; v 0= 0. Следовательно, ускорение:
Тема 1.13. Движение материальной точки 105
Определяем усилие натяжения каната при подъеме с ускорением 2800(9,81 + 1,25) = 30 968 Н; Т1 = 30,97 кН.
2. Рассмотрим участок 2 — равномерный подъем.
Ускорение и сила инерции равны нулю. Натяжение каната равно силе тяжести.
3. Участок 3 — подъем с замедлением.
Ускорение направлено в сторону, обратную направлению подъема. Составим схему сил (рис. 14.8).
Уравнение равновесия: Fин3+ Тз — G = 0. Отсюда Тз = G — Fин3 = mg — ma 3. Ускорение (замедление) на этом участке определяется с учетом того, что v = 0. 
Таким образом, натяжение каната меняется при каждом подъеме и опускании, канат выходит из строя в результате усталости материала. Работоспособность зависит от времени.
|
|
|
Пример 4. Самолет выполняет «мертвую петлю» при скорости 160 м/с2, радиус петли 1000 м, масса летчика 75 кг. Определить величину давления тела на кресло в верхней точке «мертвой петли».
106 Лекция 14
Решение
1. Схема сил, действующих на летчика (рис. 14.9):
Контрольные вопросы и задания
1.Объясните разницу между понятиями «инертность» и «сила
инерции».
2. К каким телам приложена сила инерции, как направлена и по
какой формуле может быть рассчитана?
3. В чем заключается принцип кинетостатики?
4. Задано уравнение движения материальной точки S = 8,6t2.
Определите ускорение точки в конце десятой секунды движения.
5. Тело движется вниз по наклонной плоскости (рис. 14.10). На
несите силы, действующие на тело; используйте принцип Даламбера, запишите уравнение равновесия.
6. Лифт спускается вниз с ускорением (рис. 14.11). Нанесите силы, действующие на кабину лифта, используя принцип кинетостатики, запишите уравнения равновесия.
Тема 1.13. Движение материальной точки 107
7. Автомобиль въезжает на арочный мост с постоянной скоростью v (рис. 14.12). Нанесите силы, действующие на автомобиль в середине моста, используя принцип кинетостатики, запишите уравнения равновесия.
8. Ответьте на вопросы тестового задания.
Темы 1.12, 1.13. Динамика.
Движение материальной точки.
Метод кинетостатики
108 Лекция 14
|
|
|
