 |
Интерполяция с помощью В-сплайнов
|
|
|
|
При интерполировании алгебраическими сплайнами моделируемая кривая является кусочной. Она состоит из отдельных алгебраических многочленов, гладко соединя-ющихся между собой в промежуточных точках, и её нельзя представить в едином виде линейной комбинацией неко-торых базисных функций, как в случае моделирования едиными алгебраическими полиномами. Использование специальных базисных сплайн-функций (В-сплайнов) по-зволяет использовать единое представление и в случае интерполяции кривых сплайнами.
Допустим, задан некоторый набор узловых значений параметра кривой {ti}. j -тым сегментом назовём отрезок [tj, tj+1]. В – сплайн степени m, начинающийся на j -том сег-менте, обозначается как Nj,m (t) и занимает не только его, но и последующие до сегмента с номером (j+ m+1) вклю-чительно.
В рекуррентной по степени m форме численное опре-деление В-сплайна имеет вид:
m=0: N j,0 (t) = (3.14).
m³1: 
Каждый j – тый сегмент при заданной степени m пе-рекрывается (m+1) В-сплайном - Nj,m(t), N(j-1),m(t),…, N(j-m),m (t). Таким образом, при наличии узлов t0, t1,…, tn и, соответ-ственно, сегментов с 0 -го по (n-1)- й для полного задания В-сплайнов на них необходимо ввести дополнительно:
а) узлы t-m,…, t-1 и, соответственно, сегменты с номерами (–m),…,(-1) (эти значения не должны попадать внутрь интервала [t0, tn]) и
б) сплайны N-m,m (t), …, N-1,m (t), начинающиеся на этих сегментах.
Моделируемая В-сплайн функция в общем случае мо-жет быть представлена как:
Если рассмотреть конкретный интервал [tk, tk+1], содержащий t, и исключить из суммы (3.15 а) все нулевые слагаемые, то она принимает вид:
Отсюда вытекает важное свойство В-сплайнов: значе-ние сплайн-функции P(t) степени m в фиксированной точке зависит только от m коэффициентов.
|
|
|
Рекуррентное соотношение (3.14) позволяет непо-средственно вычислять в текущей точке t значения всех В-сплайнов, принимающих в ней ненулевые значения. Допус-тим, tÎ [tj, tj+1] и степень сплайна равна m. Рассмотрим последовательно вычисление сплайнов степени 0,1,…, m.
Степень 0. Из всех сплайнов нулевой стeпени на интервале [tj, tj+1] не равен нулю только Nj,0 (t). По опре-делению N j,0 (t) = 1.
Степень 1. Не равны нулю на интервале [tj, tj+1] только N j-1,1 (t) и N j,1 (t). С учётом N j-1,0 (t)=N j+1,0 (t) = 0 получим:
86
Степень s (s£m). Для каждого значения степени s ненулевыми на интервале [tj, tj+1] являются Nj-s,s(t),Nj-s+1,s(t), …, N j,s(t). С учётом N j-s, s-1 (t) = N j+1,s-1 (t) = 0 получим:
 |
Таким образом, нет необходимости предварительного расчёта и хранения вспомогательных величин.
После подстановки в выражение (3.15 а) узловых зна-чений параметра t получается система линейных уравнений относительно вектора неизвестных коэффициентов Сj (j = –m,…,-1,0,…,n). Для формирования системы необходимо доопределить значение функции P(t) на дополнительных узлах t-m,…, t-1. Система уравнений может быть решена как стандартными методами, так и специальными методами, учитывающими диагональный характер получающейся мат-рицы.
В-сплайн поверхность может быть получена как де-картово произведение В-сплайнов по параметрам u и v:
где {`Рi j } - список характерных точек, расположенных в узлах прямоугольной двумерной сетки.
Задачи.
1. В чем принципиальное отличие локальных и интерполя-ционных сплайнов?
2. Построить локальные сплайны по следующим однократ-ным узлам:
а) n=2; х0 =; х1 = 2; х2 = 3; y0 = 1; y1 = 2; y2 =3;
б) n=2; х0 =-2; х1 = 0; х2 = 2; m =2; y0 = -1; y1 = 0; y2 =1;
z0,0 = 6; z0,1 = 4; z0,2 = z1,0 =; z1,1 = 1; z1,2 = 0; z2,0 = z2,1 =-1; z2,2 =-3.
3. Построить сплайны Эрмита для следующих вариантов геометрических условий:
а) n=1; х0 = 0; х1 = 2; m =2; y0 = - 1; y1 = 0; y2 =1;
z0,0 = 4; z0,1 = 2; z0,2 = 1; z1,0 = 3; z1,1 = 5; z1,2 = 6;
zх0,0 = 3; zх0,1 = -1; zх0,2 = 1; zх1,0 = 2; zх1,1 = 2; zх1,2 = 1;
|
|
|
zу0,0 = - 1; zу0,1 = 4; zу0,2 = 3; zу1,0 = -3; zу1,1 = 1; zу1,2 = 2;
б) n=2; х0 = -3; х1 = 0; х2 =1; m =2; y0 = -1; y1 = 1; y2 =2;
z0,0 = 7; z0,1 = 12; z0,2 = z1,0 = 5; z1,1 = 4; z1,2 = 1; z2,0 = 6; z2,1 = 3; z2,2 =-1;
zх0,0 = 2; zх0,1 = -2; zх0,2 = -2; zх1,0 = -4; zх1,1 = -3; zх1,2 = zх2,0 = -2; zх2,1 = zх2,2 = -3;
zу0,0 = 3; zу0,1 =-2; zу0,2 =-2; zу1,0 = 1; zу1,1 = -3; zу1,2 =2; zу2,0 =-1; zу2,1 =-2; zу2,2 =3.
4. Построить при помощи метода прогонки сплайны Фер-гюсона для следующих вариантов задания геометрических условий:
а) n=2; х0 = 0; х1 =1; х2 =3; y0 = -1; y1 = 3; y2 =1; y¢¢0 = y¢¢2 =0;
б) n=2; х0 = -2; х1 =0; х2 =1; y0 = 2; y1 = 1; y2 =-2; y¢0 = 2; y¢2 =3.
|
|
|
