 |
Элементарная теория дисперсии света.
|
|
|
|
Лабораторная работа №1
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
1.1. Изучить явление дисперсии света.
1.2. Измерить показатели преломления материала призмы для различных длин волн спектра ртутной лампы.
1.3. Построить зависимость показателя преломления материала призмы от длины волны света.
1.4. Определить марку стекла, из которого изготовлена призма.
ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
Показатель преломления. Дисперсия. Нормальная и аномальная дисперсия.
Абсолютный показатель преломления вещества равен отношению фазовой скорости света в вакууме к фазовой скорости света в веществе:
n = c/v. (1)
Относительным показателем преломления двух сред (второй среды по отношению к первой) называется величина n21, равная отношению абсолютных показателей преломления этих сред:
n21 = n2 / n1.
Было установлено, что показатель преломления не является постоянной величиной, одинаковой для всех длин волн λ, что связано с явлением дисперсии. Дисперсия света как физическое явление – это зависимость фазовой скорости света в среде от частоты ν световой волны или от длины волны λ (или зависимость показателя преломления вещества n от этих же величин).
Зависимость n = n( λ ) или n = n( ν ) оказывается различной для разных веществ, что учитывают введением термина дисперсия вещества (D), которая характеризует скорость изменения n в зависимости от λ (длина волны света в вакууме):
D = dn / dλ
Обычно для диспергирующих сред (т.е. сред, у которых D отлична от нуля) в области слабого поглощения (прозрачности) вещества значения n уменьшаются с ростом длины волны (рис.1 а), что соответствует нормальному закону дисперсии или нормальной дисперсии (D < 0). Однако в области сильного поглощения обнаруживается обратный ход зависимости n от λ (рис.1 б). Это явление называют аномальной дисперсией и ему соответствует D >0.
|
|
|
Рис.1.
Зависимость показателя преломления вещества от длины волны при нормальной (а) и аномальной (б) дисперсии.
Дисперсией света объясняется ряд явлений, в числе которых радуга, разноцветный блеск драгоценных камней, разложение белого света на цвета при прохождении через стеклянную призму и т.д.
Рис.2. Разложение белого света на цвета при прохождении через стеклянную призму в результате дисперсии.
Явление дисперсии удалось объяснить в рамках электромагнитной теории света и электронной теории вещества.
Элементарная теория дисперсии света.
Максвелл показал, что свет представляет собой электромагнитную волну. Фазовые скорости распространения такой волны в веществе V и в вакууме C различны. Соотношение между ними в соответствии с теорией Максвелла определяется значениями диэлектрической ε и магнитной μ проницаемостей вещества:
C / V = 
Для немагнитных сред можно принять μ = 1. Тогда имеем:
C / V = 
Таким образом, фазовая скорость света в веществе в 
раз меньше, чем в вакууме. Учитывая (1), получим:
n = (2)
или
n2 = ε (3)
На первый взгляд кажется, что формулы (2) и (3) противоречат опыту. Так, для воды в постоянном электрическом поле и в переменных полях малой частоты ε = 81. Тогда, согласно (3), n = 9. Однако из опыта известно, что для видимой области n =1,33. Данное “расхождение” связано с тем, что совершенно необоснованно проигнорировано явление дисперсии. Действительно, в постоянном электрическом поле и в переменных электрических полях малой частоты происходит сильная ориентационная поляризация полярных молекул, что и обуславливает высокое значение ε.
Однако в переменных электрических полях высокой частоты, к каким относится и поле световой волны, полярные молекулы уже не успевают ориентироваться и ориентационная поляризация не происходит. Это приводит к сильному уменьшению как ε, так и n.
|
|
|
Из курса "Электричество" известно, что
ε = 1 + æ, (4)
где æ - диэлектрическая восприимчивость, определяющая способность среды к поляризации, то есть к образованию электрических диполей под действием внешнего электрического поля.
Для диэлектриков в первом приближении явление поляризации в электрическом поле высокой частоты можно рассматривать как смещение электронов под действием этого поля на некоторое расстояние x относительно положения равновесия в направлении против поля. Ядра атомов при этом можно считать неподвижными, поскольку их масса значительно больше массы электрона. Количественной характеристикой эффекта является поляризованность Р, которая пропорциональна напряжённости электрического поля E:
Ρ = æ·ε0·E, (5)
где ε0 – электрическая постоянная. Равенство (3), с учетом (4), принимает вид:
n2 = 1 + æ.
Выразив из (5) величину æ и подставив ее в последнее равенство, имеем:
n2 = 1 + 
(6)
Из последнего выражения следует, что экспериментально наблюдаемые различия в значениях показателей преломления для разных веществ и длин волн
могут обуславливаться особенностями в поляризации атомов при взаимодействии с электромагнитной волной.
Движение электронов в атоме описывается законами квантовой механики. Однако еще до ее создания Г.Лоренц показал, что для качественного объяснения дисперсии и многих других оптических явлений достаточно ограничится гипотезой о существовании внутри атомов электронов, связанных с атомами квазиупругими силами. Эти силы можно представить в виде:
F = - k·x,
где x - смещение электрона от положения равновесия;
k – коэффициент пропорциональности.
Если электрон вывести из положения равновесия то, под действием квазиупругой силы он будет совершать гармонические колебания с частотой ω0, называемой собственной частотой атомного электрона. Из курса механики известно, что ω0= 
,
где m - масса электрона.
При прохождении электромагнитной волны через вещество каждый электрон оказывается под действием переменного электрического и магнитного полей. Расчёт показывает, что электрическая сила, действующая на электрон, значительно больше магнитной, так что магнитное поле электромагнитной волны практически не влияет на движение электрона. Напряжённость E электрического поля в электромагнитной волне изменяется по закону:
|
|
|
Е = E0 cosωt, (7)
где Е0 - амплитуда напряжённости электрического поля;
ω = 2 πν - циклическая частота колебаний напряжённости (циклическая частота световой волны);
ν – частота световой волны.
Поэтому при прохождении через вещество электромагнитной волны на каждый электрон действует также сила
F1 = - e • E = - e • Е0 • с osωt
Под действием данной силы электрон совершает вынужденные колебания. В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны – оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Пренебрежем для упрощения затуханием колебаний электрона. Затухание происходит по двум причинам. Во-первых, при ускоренном движении электрона излучаются электромагнитные волны. Во-вторых, имеет место
диссипация энергии электромагнитного поля, т.е. превращение ее в другие формы (в теплоту) в результате взаимодействия с другими атомами и соударений. Пренебрегая затуханием, на основании второго закона Ньютона имеем:
m d2 x / dt2 = F+ F1 = - kx - е•Е0 сos ω t
Разделивна m и учитывая, что K/m = ω02, получим:
d 2 x / dt2 + ω02 x = - 
E0•cos ω t (8)
Уравнение (8) описывает вынужденные колебания электрона под действием переменного электрического поля световой волны. Решение этого уравнения имеет вид:
x(t) = – 
Из последнего равенства видно, что вынужденные колебания электронов происходят с частотой ω, равной частоте колебаний напряженности электрического поля световой волны. Величина
A(ω) = 
имеет размерность длины и представляет собой амплитуду вынужденных колебаний, которая зависит от ω. Как будет видно из последующего рассмотрения, именно зависимость амплитуды вынужденных колебаний от ω и является причиной дисперсии.
|
|
|
Для одного aтома величина электрического дипольного момента, индуцируемого в результате вынужденных колебаний, составляет:
а дипольный момент, индуцируемый в единице объёма вещества, содержащей N атомов, будет равен
(9)
Выражение (9) представляет собой поляризованность вещества. Подставляя выражения (9) и (7) в (6), получаем:
(10)
Из (10) видно, что показатель преломления n зависит от ω. Согласно (10), при частотах электромагнитной волны ω ›› ω0 (далёких от резонансной) n2≈1. Зависимость n2 от ω, соответствующая уравнению (10), показана на рис.3 пунктирными кривыми.
При стремлении ω к ω0 слеваимеем что n2 → ∞, а при ω→ω0 справа n2→ - ∞. Таким образом, n2, как функция ω, терпит разрыв при частоте, равной собственной частоте колебаний электрона (рис. 4). Подобное поведение функции (10) обусловлено тем, что в уравнении (7) мы пренебрегли членом, учитывающим затухание колебаний электрона. В результате при совпадении ω с ω0 (т.е. при резонансе) амплитуда колебаний возрастает безгранично. При учете затухания колебаний электрона амплитуда его вынужденных колебаний при резонансе возрастает до конечного значения, а зависимость n 2 от ω в области частот, близких к резонансной, становится более плавной и разрыв вообще отсутствует (рис.5).
Рис.3. Зависимость n 2 от ω для случая трех резонансных частот.
Учитывая, что ω=2πC/ λ и 
,
находим, что на участках АВ и CD (рис.5),где dn/dλ< 0, имеет место нормальный закон дисперсии, а участок ВС, где dn/dλ > 0, относится к области аномальной дисперсии.
| 
|
| Рис.4. Зависимость n2 от ω без учёта затухания колебаний электрона | Рис.5. Зависимость n2 от ω с учётом – затухания колебания электрона |
Как отмечалось, при совпадении ω с ω0 (т.е. при резонансе) резко возрастает амплитуда колебаний электрона. Интенсивно колеблющийся электрон вызывает усиление колебаний атома, что приводит к нагреванию вещества. Это является дополнительной причиной затухания колебаний электрона. Таким образом, в области резонанса имеет место явление сильного поглощения, т.е. переход энергии световой волны во внутреннюю энергию вещества. Такое поглощение называется резонансным.
Электроны, входящие в состав атома или молекулы, имеют не одну, а несколько собственных (резонансных) частот колебаний (ω01,ω02,…). Учитывая это, зависимость n2 от ω изменяется. На рис.3 представлена данная зависимость для случая трех резонансных частот. Из рис.3 и 5, следует, что вдали от резонансных частот наблюдается нормальный закон дисперсии, а вблизи этих частот имеет место аномальная дисперсия. Формула (10) с учетом наличия нескольких резонансных частот преобразуется к виду:
|
|
|
(11)
Сказанное выше относится к электронам внешних оболочек атомов (оптическим электронам). Именно они взаимодействуют с излучением оптического диапазона. Электроны внутренних оболочек имеют очень высокие собственные частоты, и поле световой волны на них практически не влияет. Данные электроны эффективно взаимодействуют с ультрафиолетовым или рентгеновским излучением.
Из рис. 3 видно, что в некоторых областях спектра n <1, или v >c. Это обстоятельство не противоречит специальной теории относительности, основывающейся на утверждении, что скорость передачи сигнала не может превзойти с. Передача сигнала связана с распространением энергии в пространстве. Скорость распространения световой энергии, так называемая групповая скорость u,отличается от фазовой, характеризующей скорость перемещения поверхности постоянной фазы. Соответствующие расчеты показывают, что групповая скорость оказывается меньше с в области нормальной дисперсии. В области аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл, однако, и в данном случае скорость передачи энергии меньше с.
|
|
|
