 |
Проверка гипотезы о принятом законе распределения
|
|
|
|
Задача №1
Обработка результатов измерений
1. Между крайними значениями ряда вычисляется разность, называемая размахом выравнивания или широтой распределения:
R= 
R= 67,76-51,12=16,64
2. Далее определяется возможное число разрядов q (интервалов группирования):
=3,47
=7,88
Принимаемое значение q должно находиться в пределах от 
до 
и быть нечетным. Принимаем q=7.
3. Определяется ширина интервала (разряда):
ΔX= R/q = 16,64/7 = 2,4
Номер разряда 
| Границы разряда | Середина разряда 
| Частота 
| 
| 
| 
|
| |
| 
| |||||||
| 51,12 | 53,52 | 52,32 | -5,88 | 34,6 | ||||
| 53,52 | 55,92 | 54,72 | -3,48 | 12,1 | ||||
| 55,92 | 58,32 | 57,12 | -1,08 | 1,2 | 32,4 | |||
| 58,32 | 60,72 | 59,52 | 1,32 | 1,7 | 39,1 | |||
| 60,72 | 63,12 | 61,92 | 3,72 | 13,8 | ||||
| 63,12 | 65,52 | 64,32 | 6,12 | 37,5 | ||||
| 65,52 | 67,76 | 66,72 | 66,72 | 8,52 | 72,6 | 72,6 | ||
| - | - | - | 5819,72 | 1006,1 |
4. Результаты вычислений сводятся в таблицу:
Границы разряда определяются по формуле:
Середина разряда:
Вычисляется среднее арифметическое значение для этого суммируются данные колонки 6:
Для вычисления дисперсии и СКО выполняется ряд промежуточных действий:
- определяются отклонения от среднего (колонка 7);
- определяются квадраты отклонений от среднего (колонка 8);
- определяются произведения квадратов отклонений от среднего на частоту (колонка 9).
Дисперсия 
10,16
СКО 
10,46 = 3,19
Вычисляем СКО среднего арифметического:
Задача № 2
Построение статистических графиков
Рис. 1. Гистограмма и полигон
Рис. 2. Кумулятивная кривая
Задача № 3
Проверка гипотезы о принятом законе распределения
По данным примера 1 проверить гипотезу о законе распределения случайной величины 
, используя критерий 
, результаты измерений которой представлены выборкой объемом n=100, ΔX=1,369, 
, 
|
|
|
| Номер разряда
| Середина разряда 
| Частота
| 
| Нормированные середины 
| > 
| 
| 
| 
|
| 52,32 | -5,88 | -1,84 | 0,0734 | 0,0230 | 5,52 | 0,395 | ||
| 54,72 | -3,48 | -1,09 | 0,2203 | 0,0691 | 16,57 | 0,123 | ||
| 57,12 | -1,08 | -0,34 | 0,3765 | 0,1180 | 28,33 | 0,062 | ||
| 59,52 | 1,32 | 0,41 | 0,3668 | 0,1150 | 27,60 | 0,766 | ||
| 61,92 | 3,72 | 1,17 | 0,2012 | 0,0631 | 15,14 | 2,271 | ||
| 64,32 | 6,12 | 1,92 | 0,0632 | 0,0198 | 4,75 | - | ||
| 66,72 | 8,52 | 2,67 | 0,0113 | 0,0035 | 0,85 | - | ||
|
| - | - | - | - | - | - | 3,616 |
Нормированные середины рассчитываются по формуле:
.
Затем для каждого значение находят значение функции плотности вероятностей.
По найденному значению рассчитывают плотность вероятности физической величины теоретической функции распределения в единицах этой величины:
Определяют ту часть 
ту часть имеющихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов(n-общее число наблюдений):
Если в какой либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом. После этого определяют число степеней свободы
,
где 
- общее число интервалов, 
- число укрупненных интервалов.
Затем вычисляют интервальные значения критерия Пирсона
И величину 
.
Для нахождения граничных значений критерия 
определяют число степеней свободы:
= 7-1-2-2=2,
где =7 – число разрядов, 
=2 – число связей, накладываемое законом распределения, =2 – число укрупненных интервалов.
При 
=2 и уровне значимости 
по таблице П.2 приложения находят граничные значения критерия 
Гипотеза о совпадении экспериментального и теоретического законов распределения принимается, так как 
. 
3,525 входит в интервал (0,103; 5,991).
Рис. 3. Гистограмма равномерного распределения
Задача № 4
Проверка гипотезы о равномерном распределении по критерию 
Случайная величина называется равнораспределенной на интервале 
, если ее плотность вероятности на этом интервале постоянна, а вне его равна нулю, т.е.
|
|
|
r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> 
Где a и b- границы интервала возможных значений случайной величины.
В результате обработки ряда результатов измерений n=100 с размахом R= 67,76-51,12=16,64, с принятым числом интервалов q=7 и шириной интервала ΔX= R/q = 16,64/7 = 2,4, получены статистические характеристики 
= 59,44 и 
4,7542.
Определяем границы интервала:
Определяем вероятности попадания случайной величины для эмпирического распределения:
| № | Границы раздела |
| 
| 
| 
| |
| 
| |||||
| 51,12 | 53,52 | 0,14 | 0,98 | 0,397 | ||
| 53,52 | 55,92 | 0,15 | 2,7 | 0,123 | ||
| 55,92 | 58,32 | 0,15 | 4,05 | 0,062 | ||
| 58,32 | 60,72 | 0,15 | 3,45 | 0,767 | ||
| 60,72 | 63,12 | 0,15 | 3,15 | 2,268 | ||
| 63,12 | 65,52 | 0,15 | 0,45 | 0,645 | ||
| 65,52 | 67,76 | 0,13 | 0,13 | 0,026 | ||
| 4,289 |
Теоретическая частота 
для равномерного закона определяется по формуле
Определяем критерий
Число степеней свободы 
При 
и уровне значимости по таблице П.2 приложения находят граничные значения критерия :
Так как 
не входит в интервал (0,711; 9,488), то гипотеза о равномерном законе распределения не принимается.
Задача № 5
|
|
|
