 |
Экстремум функции одной переменной
|
|
|
|
Поиск экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального и глобального экстремума. Последние называют еще задачами оптимизации. Рассмотрим конкретный пример функции f(x), показанной графиком на рис. 8.8 на интервале (-2,5). Она имеет глобальный максимум на левой границе интервала, глобальный минимум, локальный максимум, локальный минимум и локальный максимум на правой границе интервала (в порядке слева направо).
В Mathcad с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Последний путь таит в себе некоторую опасность уйти в зону другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее из соображений экономии времени.
Рис. 8.8. График функции f(х)=х4+5х3-10х
Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.
· Minimize (f, x1,...,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;
· Maximize (f, х1,...,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;
- f (x1,..., хм,...) — функция;
- x1,..., xм — аргументы, по которым производится минимизация (максимизация).
Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения. Примеры вычисления экстремума функции одной переменной (рис. 8.8) без дополнительных условий показаны в листингах 8.11- 8.12. Поскольку никаких дополнительных условий в них не вводится, поиск экстремумов выполняется для любых значений.
|
|
|
Листинг 8.11. Минимум функции одной переменной
Листинг 8.12. Максимум функции одной переменной
Как видно из листингов, существенное влияние на результат оказывает выбор начального приближения, в зависимости от чего в качестве ответа выдаются различные локальные экстремумы. В последнем случае численный метод вообще не справляется с задачей, поскольку начальное приближение х=-10 выбрано далеко от области локального максимума, и поиск решения уходит в сторону увеличения f (х).
Условный экстремум
В задачах на условный экстремум функции минимизации и максимизации должны быть включены в вычислительный блок, т. е. им должно предшествовать ключевое слово Given. В промежутке между Given и функцией поиска экстремума с помощью булевых операторов записываются логические выражения (неравенства, уравнения), задающие ограничения на значения аргументов минимизируемой функции. В листинге 8.13 показаны примеры поиска условного экстремума на различных интервалах, определенных неравенствами. Сравните результаты работы этого листинга с двумя предыдущими.
Листинг 8.13. Три примера поиска условного экстремума функции
Не забывайте о важности выбора правильного начального приближения и в случае задач на условный экстремум. Например, если вместо условия - 3<х<0 в последнем примере листинга задать -5<х<0, то при том же самом начальном х=-10 будет найден максимум Maximize(f,x) =-0.944, что неверно, поскольку максимальное значение достигается функцией f (х) на левой границе интервала при х=-5. Выбор начального приближения х=-4 решает задачу правильно, выдавая в качестве результата Maximize (f,x) =-5.
|
|
|
