Базовый уровень, время – 3 мин)

Тема: Использование информационных моделей (таблицы, диаграммы, графики).
Перебор вариантов, выбор лучшего по какому-то признаку.

Что нужно знать:

· в принципе, особых дополнительных знаний, кроме здравого смысла и умения перебирать варианты (не пропустив ни одного!) здесь, как правило, не требуется

· полезно знать, что такое граф (это набор вершин и соединяющих их ребер) и как он описывается в виде таблицы, хотя, как правило, все необходимые объяснения даны в формулировке задания

· чаще всего используется взвешенный граф, где с каждым ребром связано некоторое число (вес), оно может обозначать, например, расстояние между городами или стоимость перевозки

· рассмотрим граф (рисунок слева), в котором 5 вершин (A, B, C, D и E); он описывается таблицей, расположенной в центре; в ней, например, число 4 на пересечении строки В и столбца С означает, что, во-первых, есть ребро, соединяющее В и С, и во-вторых, вес этого ребра равен 4; пустая клетка на пересечении строки А и столбца В означает, что ребра из А в В нет

	A	B	C	D	Е
A
B
C
D
Е

 

 

· обратите внимание, что граф по заданной таблице (она еще называется весовой матрицей) может быть нарисован по-разному; например, той же таблице соответствует граф, показанный на рисунке справа от нее

· в приведенном примере матрица симметрична относительно главной диагонали; это может означать, например, что стоимости перевозки из В в С и обратно равны (это не всегда так)

· желательно научиться быстро (и правильно) строить граф по весовой матрице и наоборот

Пример задания:

Р-08. На рисунке справа схема дорог Н-ского района изображена в виде графа, в таблице содержатся сведения о длинах этих дорог (в километрах). Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Определите, какова длина дороги из пункта В в пункт Е. В ответе запишите целое число – так, как оно указано в таблице.

Решение:

1) для того чтобы определить нужные нам вершины В и Е в весовой матрице, легче всего подсчитать степени вершин, то есть для каждой вершины найти количество рёбер, с которыми она связана (петля – ребро, которое соединяет вершину саму с собой, как кольцевая дорога, считается дважды)

2) в весовой матрице степень вершины – это количество непустых клеток в соответствующей строке (показаны справа от таблицы на жёлтом фоне), а для изображения графа- количество пересечений небольшой окружности, проведённой около вершины, со всеми рёбрами:

3) по изображению графа находим, что вершина В имеет степень 5, а вершина Е – степень 4

4) в таблице есть ровно одна вершина, степень которой 5 (это П6) и одна вершина, степень которой – 4 (П4), их соединяет ребро длиной 20 (эти ячейки выделены в весовой матрице фиолетовым фоном).

5) Ответ: 20.

6) Бонус: попытаемся теперь определить, как обозначены остальные вершины в таблице. Каждая из вершин Д (степени 2) и Г (степени 3) соединена с уже известными вершинами В и Е, по таблице находим, что вершина Д – это П7, а вершина Г – это П2. Тогда вершина К соединяется с Е (П4) и Г (П2), то есть К – это П1. А вот различить вершины А и Б по этим данным не удаётся.

Ещё пример задания:

Р-07. На рисунке справа схема дорог Н-ского района изображена в виде графа, в таблице содержатся сведения о длинах этих дорог (в километрах). Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Определите, какова длина дороги из пункта А в пункт Д. В ответе запишите целое число – так, как оно указано в таблице.

Решение:

1) определим степени вершин по весовой матрице и по изображению графа (как в предыдущей задаче):

2) по изображению графа находим, что обе интересующих нас вершины, А и Д, имеют степени 3; кроме того, степень 3 имеет еще и вершина Г

3) в таблице тоже есть три вершины со степенью 3 (это П1, П4 и П6), но вершина П1 (это вершина Г на рисунке!) не имеет общих ребёр с вершинами П4 и П6 (а это А и Д!);

4) таким образом, ответ – это длина ребра между вершинами П4 и П6 (эти ячейки выделены в весовой матрице фиолетовым фоном).

5) Ответ: 46.

6) Бонус: вершины В и Е, имеющие степени 5 и 4, это П3 и П7; с вершиной Г (П1) связана ещё вершина К, имеющая степень 2 – это П5; с Е связана ещё вершина Д – это П6; тогда П4 – это А, а П2 – это Б.

Ещё пример задания:

Р-06. Между населёнными пунктами A, B, C, D, E, F построены дороги, протяжённость которых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги между пунктами нет.)

	A	B	C	D	E	F
A
B
C
D
E
F

Определите длину кратчайшего пути между пунктами A и F, проходящего через пункт E и не проходящего через пункт B. Передвигаться можно только по указанным дорогам.

Решение:

1) поскольку нас интересуют только маршруты, НЕ проходящие через пункт В, столбец и строку, соответствующие этому пункту, можно удалить из таблицы:

	A	C	D	E	F
A
C
D
E
F

2) дальше действуем так же, как показано при решении следующих далее разобранных задач; причем из всех маршрутов нужно оставить только те, которые проходят через пункт Е

3) первый шаг от А (в скобках указаны длины маршрутов):

АС (4), AD (8)

прямой маршрут AF не рассматриваем, потому что он не проходит через пункт E

4) второй шаг

ACD (7), ADC (11), ADE (13)

маршрут ADF не рассматриваем, потому что он не проходит через пункт E

5) третий шаг:

ACDE (12), ADEF (18)

маршрут ADEF дошел до пункта назначения;

маршрут ADC продолжать не имеет смысла, потому что из C можно проехать только в пункты A и D, где мы уже были;

маршрут ACDF не рассматриваем, потому что он не проходит через пункт E

6) четвертый шаг:

ACDEF(17)

7) этот маршрут тоже дошел до пункта назначения, его длина меньше, чем для предыдущего, его и выбираем

8) Ответ: 17.

Ещё пример задания:

Р-05. Между населёнными пунктами A, B, C, D, E, F, Z построены дороги с односторонним движением. В таблице указана протяжённость каждой дороги. Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги между пунктами нет. Например, из A в B есть дорога длиной 4 км, а из B в A дороги нет.

	A	B	C	D	E	F	Z
A
B
C
D
E
F
Z

Сколько существует таких маршрутов из A в Z, которые проходят через 6 и более населенных пунктов? Пункты A и Z при подсчете учитывать. Два раза проходить через один пункт нельзя.

Решение (1 способ, перебор вариантов):

1) обратим внимание, что числа в таблице нас совсем не интересуют – достаточно знать, что между данными пунктами есть дорога

2) нам нужно найти все пути, которые проходят через 6 и более пунктов, считая начальный и конечный; то есть между A и Z должно быть не менее 4 промежуточных пункта

3) начнем с перечисления всех маршрутов из А, которые проходят через 2 пункта; по таблице видим, что из A можно ехать в B, C и Z; количество пунктов на маршруте будем записывать сверху:

AB
AC
AZ

4) маршрут AZ нас не интересует, хотя он и пришел в конечный пункт, он проходит меньше, чем через 6 пунктов (только через 2!); здесь и далее такие «неинтересные» маршруты из A в Z будем выделять серым фоном

5) теперь ищем все маршруты, проходящие через 3 пункта; из B можно ехать только в C, а из С – в D и Z:

AB	ABC
AC	ACD
ACZ
AZ

6) далее из C едем в D и Z, а из D – в E, F и Z:

AB	ABC	ABCD
ABCZ
AC	ACD	ACDE
ACDF
ACDZ
ACZ
AZ

7) строим следующий уровень только для тех маршрутов, которые ещё не пришли в Z:

AB	ABC	ABCD	ABCDE
ABCDF
ABCDZ
ABCZ
AC	ACD	ACDE	ACDEF
ACDEZ
ACDF	ACDFE
ACDFZ
ACDZ
ACZ
AZ

8) следущие два уровня дают «интересные» маршруты, проходящие через 6 или 7 пунктов:

AB	ABC	ABCD	ABCDE	ABCDEF	ABCDEFZ
ABCDEZ
ABCDF	ABCDFE	ABCDFEZ
ABCDFZ
ABCDZ
ABCZ
AC	ACD	ACDE	ACDEF	ACDEFE
ACDEFZ
ACDEZ
ACDF	ACDFE	ACDFEF
ACDFEZ
ACDFZ
ACDZ
ACZ
AZ

 

9) на последней схеме зелёным фоном выделены «интересные» маршруты, их всего 6; красным фоном отмечены маршруты, в которых получился цикл – они дважды проходят через один и тот же пункт; такие маршруты запрещены и мы далее их не рассматриваем

10) Ответ: 6.

11) можно было нарисовать схему возможных маршрутов в виде дерева:

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: