Давление жидкости на вертикальную пластинку.

Применение определенного интеграла в физике

Работа переменной силы.

Определенный интеграл широко применяется при решении различных физических задач. С помощью определенного интеграла можно вычислять: путь, пройденный материальной точкой, если известна скорость движения; работу переменной силы; силу давления жидкости на плоскую фигуру; статические моменты и координаты центра масс плоской кривой и плоской фигуры; вычислить кинетическую и потенциальную энергию тела в поле сил и т.д.

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей­ствием переменной силы F=F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а <bЬ), находится по формуле: A =

Пример 1. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, про­порциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k— коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растяги­вает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F =10000 х.

Искомая работа на основании формулы A = равна

A =

Пример 2. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резер­вуара высоты Н м и радиусом основания Rм (рис. 13).

Рис.13

Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.

1.Работа, затрачиваемая на выкачивание из резер­вуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х ≤ Н), есть функция от х, т. Е. А = А(х),

где (0 ≤ х ≤ Н)(A(0) = 0, A (H) = А₀).

2. Находим главную часть приращения ΔA при из­менении х на величину Δх = dx, т. Е. находим диффе­ренциал d А функции А(х).

Ввиду малости dх считаем, что “элементарный” слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда d А = dрх, где d р- вес этого слоя; он равен g АV, где g- ускорение свободногопадения, -плотность жидкости, dv - объем “элементарного” слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. Е. d р = g . Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , где dx-высота цилиндра (слоя), -площадь его основания, т. Е. dv= .

Таким образом, d р = . И

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим

A

 

Путь, пройденный телом.

Пример 3. Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной ско­ростью v =v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t до t_2.

Решение: Из физического смысла производной известно, что при дви­жении точки в одном направлении “скорость прямолинейного движения

равна производной от пути по времени”, т. Е. v(t) = . Отсюда следует, что dS = v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t до t ,

получаем S =

Пример 4. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).

Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от на­чала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен

S =

Давление жидкости на вертикальную пластинку.

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а вы­сотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. Е. Р = g , где g — ускорение свободного падения, — плотность жидкости, S — площадь пластинки, h — глубина ее погружения.

Рис. 14

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глу­бинах.

Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная ли­ниями х = а, х = b, y и y . Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т. Е. р = р(х) — да­вление на часть пластины, соответствующее от­резку [а; b]значений переменной х, где х [a; b] (р(a) = 0, р(b) = Р).

Рис 14

2. Дадим аргументу х приращение Δx = d х. Функция р(х) получит приращение Δр (на рис.14 - полоска-слой толщины dх). Найдем диффе­ренциал d р этой функции. Ввиду малости dх бу­дем приближенно считать полоску прямоуголь­ником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. Е. пластинка эта — горизонталь­ная.

Тогда по закону Паскаля dр = .

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получим

P = или P =

Рис. 15

Пример 5. Определить величину давле­ния воды на полукруг, вертикально погружен­ный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (рис. 15).

Решение: Воспользуемся полученной форму­лой для нахождения давления жидкости на вер­тикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями у = - , y , x = 0, x = R.

P =

 

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: