Определение кривой второго порядка

Пример.

В обобщенной полярной системе координат построить кривую .

Для решения задачи следует найти точки, лежащие на кривой, давая значения через какой-то промежуток (чем меньше промежуток, тем точнее можно построить кривую, но тем больше объем вычислительной работы). Результат построения – окружность с диаметром – приведен на рис. 2.2. Там же показаны две точки, и , принадлежащие этой окружности, способ построения которых ясен из рисунка. Любые другие точки этой кривой строятся аналогично.

Всякой линии на плоскости , рассматриваемой как множество точек, соответствует некоторое уравнение, в которое входят координаты любой точки ("текущей точки"), лежащей на этой линии. Та­кое уравнение называется уравнением данной линии.

Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:

1) взять произвольную (текущую) точку линии,

2) записать равенством общее свойство всех точек линии,

3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через теку­щие координаты точки и через данные в задаче.

Пример. В декартовой прямоугольной системе координат вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек и есть величина посто­янная, равная 47.

Решение.

Обозначим буквой произвольную точку линии.

и - текущие координаты этой точки.

Запишем геометрическое свойство линии символически.

. (1)

Выразим и через текущие координаты точки :

Подставив полученные выражения в равенство (1), найдем уравне­ние, связывающее координаты точки :

Упростим последнее уравнение:

Получили уравнение окружности с центром в т. (0,1) и радиусом .

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе коорди­нат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение прямой.

- координаты нормального вектора прямой (вектора, перпендикулярного данной прямой).

2) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

3) - уравнение с угловым коэффициентом, где - отрезок, отсекаемый прямой на оси , или , где - угол наклона прямой к оси .

4) - уравнение прямой с угловым коэффициен­том , проходящей через данную т. .

5) - каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через т. параллельно направляю­щему вектору .

6) - параметрические уравнения прямой, - параметр.

7) - уравнение прямой в отрезках, где и - величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях и соот­ветственно.

8) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

Угол между двумя прямыми можно найти, зная угловые коэффициенты прямых: .

Условие параллельности двух прямых: или .

Условие перпендикулярности двух прямых: , или .

плоскость

Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение плоскости, - нормальный вектор плоскости, - его ко­ординаты;

2) - уравнение плоскости, проходящей через т. перпендикулярно нормальному вектору .

3) - уравнение плоскости в отрезках, где - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат соответ­ственно.

4) - уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: .

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Прямая в пространстве может быть задана:

1) общими уравнениями:

т.е. системой уравнений двух пересекающихся плоскостей.

2) параметрическими уравнениями:

где - координаты данной точки, а – координаты направляющего вектора прямой , т.е. вектора, параллельного данной прямой;

3) каноническими уравнениями:

4) уравнениями прямой, проходящей через две точки:

и :

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

И ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

Угол между плоскостями и определяется по формуле

Условие перпендикулярности плоскостей:

Условие параллельности плоскостей:

Расстояние от точки до плоскости, определяемой уравнением можно найти по формуле

Угол между двумя прямыми в пространстве, заданными их канони­ческими уравнениями, определяется по формуле

условие параллельности двух прямых: условие перпендикулярности двух прямых: Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

условие параллельности прямой и плоскости:

условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

При решении задач надо уметь переходить от общих уравнений прямой в пространстве к каноническим.

Пример.

По уравнениям плоскостей

образующих прямую, составить ее уравнения в каноническом виде. Решение. Определим координаты одной точки прямой: положим , тогда для значений и решим систему уравнений

Теперь канонические уравнения имеют вид

Направляющий вектор искомой прямой будет пер­пендикулярен нормальным векторам и данных плоскостей, следовательно, его координаты можно найти, ис­пользуя векторное произведение.

т.е.

Канонические уравнения искомой прямой имеют вид

 

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение кривой второго порядка

Кривой второго порядка называется линия, определяемая урав­нением второй степени относительно текущих декартовых координат.

В общем случае это уравнение имеет следующий вид:

(1)

где коэффициенты и — действительные числа и, кроме того, по крайней мере одно из чисел: или отлично
от нуля. Коэффициенты при и обозначены соответственно через и для удобства преобразований уравнения. Известно, что уравнение окружности с центром в точке и радиуса имеет вид

(2)

Это уравнение второй степени относительно и . Следовательно,
окружность есть кривая второго порядка. Далее будут рассмотрены четыре кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

 

Окружность

Раскрыв скобки в уравнении (2) и выполнив некоторые тож­дественные преобразования, мы получим уравнение окружности в следующем виде:

При сравнении этого уравнения с общим уравнением (1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия: 1) отсутствует член с произведением коор­динат ; 2) коэффициенты при и равны между собой.

Пример. Показать, что уравнение определяет окружность, и найти координаты ее центра и радиус.

Решение. Условия и здесь выполняются. Преобразуем данное уравнение:

или

Мы получили уравнение окружности с центром и ра­диусом .

Пример. Показать, что уравнение не определяет никакой линии.

Решение. Преобразуем это уравнение:

или

Теперь ясно, что данное уравнение не определяет никакой линии.

Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть постоян­ная величина (при условии, что эта величина больше расстоя­ния между фокусами).

Обозначим фокусы через и , расстояние между ними – через , а постоянную величину, равную сумме расстояний от каждой точки эллипса до фокусов, – через (по условию ).

Построим декартову систему координат так, чтобы фокусы и оказались на оси абсцисс, а начало координат совпало с серединой отрезка (рис.2.3). Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: левый фокус и правый фокус . Выведем уравнение эллипса в выбранной нами системе координат. С этой целью рассмотрим произвольную точку эллипса. По определению эллипса сум­ма расстояний от этой точки до фокусов и равна :

Пользуясь формулой для расстояния между двумя точками, получим , ; следовательно,

Для упрощения этого уравнения запишем его в форме

Возведя затем обе части уравнения в квадрат, получим

или, после очевидных упрощений:

Теперь опять возводим обе части уравнения в квадрат, после чего будем иметь

или после тождественных преобразований:

Так как согласно условию в определении эллипса , то — число положительное. Введем обозначение

Тогда уравнение примет следующий вид:

или

Можно показать, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 2.4. Точки пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса. Из симметрии эллипса следует, что, кроме вершин и , эллипс имеет еще две вершины: и (см. рис. 2.4). Отрезки и , соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины и , называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
Отношение половины расстояния между фокусами к большой по­луоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается обычно буквой :

Так как , то эксцентриситет эллипса меньше единицы: .

Пример. Найти каноническое уравнение эллипса, зная его большую полуось и эксцентриситет .

Решение. По условию . Следовательно, половина расстояния между фокусами . Но тогда квадрат малой полуоси эллипса . Таким образом, искомое каноническое уравнение эллипса имеет следующий вид:

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходя­щего через точку и имеющего большую полуось .

Решение. Каноническое уравнение эллипса при имеет следующий вид:

Этому уравнению должны удовлетворять координаты точки

Следовательно,

Найдя отсюда и подставив его в уравнение, получим искомое каноническое уравнение эллипса:

 

Гипербола

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каж­дой из которых от двух данных точек этой плоскости; называемых фокусами, есть постоянная величина, при условии, что эта вели­чина не равна нулю и меньше расстояния между фокусами.

Обозначим расстояние между фокусами и через , а посто­янную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов, через (по условию ). Как и в случае эллипса, ось абсцисс проведем через фокусы, а за начало координат примем середину отрезка (см. рис. 2.3). Фокусы в такой системе будут иметь координаты и . Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе коор­динат. По определению гиперболы для любой ее точки имеем , или

Но и Поэтому получим

После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при выводе уравнения эллипса, получим следующее уравнение:

Нетрудно заметить, что это уравнение совпадает с уравне­нием, полученным для эллипса. Однако здесь раз­ность , так как для гиперболы . Поэтому положим

Тогда последнее уравнение приводится к следующему виду:

Форма гиперболы и способ её построения показаны на рис. 2.5. Точки и – вершины гиперболы. Прямые и , имеющие уравнения , называются асимптотами гиперболы.

Отношение половины расстояния между фокусами к действи­тельной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается обычно буквой :

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы .

Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная что расстояние между ее фокусами равно 26, а эксцентриситет равен .

Решение. По условию и Следовательно, большая полуось гиперболы Согласно фор­муле малая полуось гиперболы

Уравнение гиперболы имеет следующий вид:

Пример. Гипербола, оси которой совпадают с осями коорди­нат, проходит через точки и . Найти ее каноническое уравнение.

Решение. Напишем каноническое уравнение гиперболы

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек и . Следовательно,

и

или

и

Отсюда находим и и подставляем их в каноническое уравнение гиперболы:

 

 

Парабола

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки , называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. (Предполагается, что фокус не лежит на директрисе.)

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через . Эта величина называется параметром параболы.

Выведем уравнение параболы. Расположим ось абсцисс так, чтобы она проходила через фокус перпендикулярно директрисе и имела положительное направление от директрисы к фокусу (рис. 2.6). За начало координат выберем середину перпендикуляра , опу­щенного из фокуса на директрису. В выбранной таким образом системе координат фокус будет иметь координаты . Урав­нение директрисы будет иметь следующий вид:

Пусть — точка параболы. По определению параболы, рас­стояние точки от директрисы равно ее расстоянию от фокуса: .

Из рис. 2.6 ясно, что а Следовательно,

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

или, после упрощений:

Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы. Ему, очевидно, удовлетворяют координаты любой точки параболы. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на параболе, уравнению не удовлетворяют.

Парабола, определяемая уравнением имеет вид, изображенный на рис. 2.6.

Ось симметрии параболы называется фокальной осью. Точка пе­ресечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной. В данном случае вершина параболы совпадает с началом координат.

Пример. Дана парабола . Составить уравнение ее дирек­трисы и найти ее фокус.

Решение. Сравнивая данное уравнение с каноническим урав­нением параболы, видим, что . Так как директриса параболы имеет уравнение , а фокус — координаты и , то уравнение директрисы , а фокус

Замечание. Если фокальную ось параболы принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид

Уравнение второй степени вида

(не содержащее члена с произведением координат) называется пятичленным уравнением кривой второго порядка.

Причем, если , то определяемая этим уравнением кривая есть эллипс.

Если , то соответствующая кривая является гиперболой, которая может вырождаться в две пересекающиеся прямые, если левая часть уравнения распадается на произведение двух линейных множите­лей.

Если (т.е. либо , либо ), то уравнение определяет параболу, которая может вырождаться в две па­раллельные прямые, если левая часть уравнения не содержит либо , либо .

Вид кривой и расположение ее на плоскости легко устанавливаются
преобразованием пятичленного уравнения к виду (т.е. группируем в скобки члены с одно­именными координатами и дополняем выражения в скобках до полных квадратов). Затем переносим начало координат в точку , со­храняя направление осей координат (параллельный перенос). Таким образом получаем канонический вид кривой второго порядка.

Пример. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду:

Решение.

Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало координат точку . Относительно новых осей уравнение кривой примет вид Таким образом, заданная кривая является эллипсом с полуосями ; . (рис. 2.7).

Приведение к каноническому виду уравнения второй степени, содержащего член с произведением переменных, значительно сложнее. Этот вопрос подробно рассмотрен в литературе [1].

В заключение этой темы рассмотрим два примера на определение уравнения геометрического места точек.

Пример. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси и от точки .

Решение. Пусть точка лежит на искомом геометрическом месте точек (черт. 2.8). Тогда согласно условию задачи , , .

В силу равенства

имеем:

или

и окончательно: .

Искомое геометрическое место точек есть парабола, симметричная оси и с фокусом в точке (рис. 2.8).

Покажем, что координаты точки, не принадлежащей нашему геометрическому месту, т. е. параболе, не удов­летворяют найденному уравнению .

Предположим, что точка не принадлежит искомому геометрическому месту. Тогда либо , либо .

Пусть, например, . Тогда

После возведения в квадрат, раскрытия скобок и пе­реноса всех членов влево, получим: .

Следовательно, точка не удовлетворяет уравнению геометрического места .

Для случая доказательство аналогично.

Пример. Определить траекторию точки , которая дви­жется так, что ее расстояние от точки остается вдвое меньше расстояния от точки .

Решение. Пусть точка лежит на искомой траектории. Тогда, согласно условию, .

Расстояние ,

расстояние .

В силу равенства имеем:

Возводим правую и левую части равенства в квадрат, получаем

После преобразования получим

Таким образом, искомая траектория точки — окружность (рис.2.9).

 

Контрольная работа № 2 по теме

"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

2.1. Даны три последовательные вершины параллелограмма .

Найти:

1) уравнение стороны ;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины на сторону , длину этой высоты;

3) уравнение диагонали ;

4) площадь параллелограмма;

5) угол между диагоналями параллелограмма;

2.1.1.

2.1.2.

2.1.3.

2.1.4.

2.1.5.

2.1.6.

2.1.7.

2.1.8.

2.1.9.

2.1.10.

2.2. Задачи на уравнения прямой и плоскости в пространстве.

2.2.1. Даны две точки: и . Составить урав­нение плоскости, проходящей через т. перпендикулярно к вектору .

2.2.2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через т. параллельно плоскости .

2.2.3. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через т. параллельно прямой .

2.2.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через т. параллельно двум векторам: и .

2.2.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: , , .

2.2.6. Составить уравнение прямой, проходящей через т. перпендикулярно к плоскости .

2.2.7. Найти угол между прямыми

2.2.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через т.