 |
Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах
|
|
|
|
1. SO — перпендикуляр к диагоналям AC и BD прямоугольника ABCD.
а) Укажите среди отрезков SA, SB, CS, SO, BO, CO, SD перпендикуляр,и наклонные к пл. (ABC) и проекции.
б) Докажите, что 
.
в) Найдите CD, если 
, 
см, а 
см.
г) Радиус описанной окружности около прямоугольника ABCD равен R, угол 
, 
. Найдите SO и площадь прямоугольника ABCD.
3. Точка S не принадлежит плоскости треугольника ABC, 
и 
, 
а) Докажите, что 
. б) Докажите, что 
.
в) Найдите радиус вписанной окружности в треугольник ABC, если радиус описанной около него окружности равен 
см. 
, а 
.
4. На рисунке 3 изображены наклонные SA, SB и перпендикуляр SO, проведенные к плоскости 
.
а) Найдите угол SAO, если 
см, 
см, 
см.
в) Найдите отношение отрезков 
, если 
, а 
.
г) Найдите SA, если 
, 
, а 
.
5. Точка S не принадлежит плоскости . BO и AO — проекции наклонных SB и SA на плоскость
а) Найдите AB, если 
см, 
см, 
;
б) Найдите AB, если 
см, 
, 
, 
;
в) Найдите BO, если треугольник BSA равносторонний, площадь которого 
см2, а ;
г) Найдите косинус угла BSA, если 
см, см, 
см, .
6. На рисунке 4 изображен куб 
.
а) Докажите, что 
и DC б) Докажите, что 
и AC
в) Докажите, что 
и 
г) Докажите, что 
.
7. SC перпендикуляр к плоскости ромба ABCD
а) Докажите, что 
.
б) Найдите угол SBC, если угол SOC равен , а диагонали ромба — 24 см и 10 см.
в) Найдите площадь треугольника BSD, если 
см, 
см, а косинус угла OSC равен 0,6.
г) Постройте перпендикуляр SN из точки S к прямой AB. Найдите его длину, если сторона ромба равна 8 см, его площадь 32 см2, а 
см.
8. Точка S не принадлежит плоскости прямоугольного треугольника ABC, 
(рис. 6), и 
.
а) Постройте перпендикуляр из точки S к прямой AC, если 
. Вычислите его длину, если 
см, а 
см.
Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки S к прямой AC, если
б) 
см, 
см, 
см в) 
см, 
, 
см г) 
, 
, 
.
|
|
|
9. Дан прямоугольный треугольник ABC, катеты которого 3 см и 4 см, а точка O — центр вписанной окружности. Из точки O проведен перпендикуляр OS к плоскости ABC, 
см. Из точки S построены перпендикуляры к сторонам данного треугольника. Найдите их длины.
10. Дан прямоугольный треугольник ABC, 
, а точка O — центр вписанной окружности. OS — перпендикуляр к плоскости ABC, SN — наклонная к этой плоскости, причем 
а) Найдите SO, если 
, 
см, 
см б) Найдите SO, если , 
, 
.
11. Дан прямоугольный треугольник ABC, . Из точки S проведены равные наклонные 
, причем 
, 
(рис. 8), а SP перпендикулярен плоскости ABC.
а) Найдите площадь треугольника ABC, если 
см, угол SKP равен 
, а 
см.
б) Найдите SP, если 
, 
, а 
.
12. Дан прямоугольный треугольник ABC, , точка O — его центр описанной окружности. OS — перпендикуляр к плоскости треугольника ABC.
а) Постройте перпендикуляры из точки S к катетам треугольника ; 
. Найдите площадь треугольника ABC, если 
, 
, а 
.
б) Найдите SO, если 
см, 
, а 
, где , .
13. Дан прямоугольный треугольник ABC и точка S, не принадлежащая плоскости ABC (рис. 9), , AS — перпендикуляр к AB и AC.
а) Постройте перпендикуляр из точки S к прямой BC. Найдите его длину, если угол SBA равен углу BAC, BS больше BC на 18 см, а 
см.
б) Найдите угол SBA, если 
, 
, 
.
14. На рисунке 10 изображен равносторонний треугольник ABC, а BS — перпендикуляр к плоскости ABC. BO — радиус описанной окружности около треугольника ABC.
а) Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки S к прямой AC, если см, 
см.
б) Найдите SA, если 
см; 
см.
15. На рисунке 11 изображен ромб ABCD и SC перпендикуляр к сторонам ромаб BC и CD, 
см, а меньшая диагональ ромба равна 10 см.
а) Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки S к диагонали BD, если 
см.
б) Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки S к стороне ромба AB, если 
.
16. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Через вершину A проведена плоскость ANKP, перпендикулярная боковому ребру SC.
|
|
|
а) Укажите градусную меру углов NKS, PKC, AKC.
б) Докажите, что 
.
17. Дан куб . Точки K и P — середины ребер 
и AD — соответственно. Сечения 
и 
пересекаются по прямой ST (рис. 13).
а) Перпендикулярна ли наклонная ST к плоскости ABC прямой принадлежащей этой плоскости?
б) Какой фигурой является четырехугольник ? Найдите его площадь, если ребро куба равно 1.
в) Найдите площадь четырехугольника , если 
.
г) Найдите угол, образованный перпендикуляром, проведенным из точки S к прямой CP и его проекцией на плоскость ABC.
|
|
|
