 |
Сфера, описанная около тетраэдра.
|
|
|
|
Известно, что около всякого тетраэдра можно описать сферу, её центр O лежит на перпендикулярах к граням тетраэдра, восстановленных в центрах окружностей, описанных около граней.
Медианы тетраэдра.
Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой тетраэдра. Свойства медиан тетраэдра аналогичны свойствам медиан треугольника.
Теорема 4. Четыре медианы тетраэдра ABCD пересекаются в одной точке G, которая делит каждую из них в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра, причем
4PG = PA + PB +PC +PD, (4)
где P – любая точка пространства.
Доказательство. Возьмем на медиане DG’ тетраэдра ABCD точку G, определяемую соотношением DG: GG’ = 3: 1 (рис 5). Согласно формуле (1),
PG = ---------------.
Учитывая, что центроид G’ треугольника ABC удовлетворяет соотношению 3PG = PA + PB + PC, получим
PG = -- (PA + PB + PC + PD).
Вычисляя вектор PG’’ с концом в точке G’’, делящей любую из трех других медиан тетраэдра в отношении 3: 1 (считая от вершины), получим то же самое выражение. А это означает, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке G, удовлетворяющей соотношению (4). Точка G, называется
-5-
центром тяжести (или центроидом) тетраэдра.
Высоты тетраэдра.
Высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. По аналогии можно предположить, что высоты любого тетраэдра также пересекаются в одной точке. Однако это не так.
Для примера рассмотрим тетраэдр ABCD с прямым двугранным углом при ребре AB, в котором AC = BC, но AD = BD (рис. 6). Высоты CE и DF тетраэдра лежат соответственно в гранях ABC и ABD, но точка E – середина AB, а F – нет. Если бы длины ребер DA и DB были равны, то основания E и F совпадали бы, но две другие высоты тетраэдра не могут проходить через точку E.
|
|
|
Таким образом, даже две высоты тетраэдра могут не иметь общей точки.
Тем не менее существуют и тетраэдры, все четыре высоты которых пересекаются в одной точке. Таким будет, например, тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D. Ребра DA, DB и DC являются его высотами, а вершина D – ортоцентром (точкой пересечения всех четырех высот).
Попробуем найти все тетраэдры, у которых высоты пересекаются в одной точке.
Пусть высоты тетраэдра ABCD, проведенные из вершин C и D, пересекаются в точке H
-6-
(рис. 7). Тогда CH’__AB и DH’’__AB, т.е. прямая AB перпендикулярна к двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости CDH, следовательно, AB__BC. Аналогично доказывается, что если две другие высоты тетраэдра ABCD проходят через ту же точку H, то AC__BD и AD__BC. Итак, если все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то противоположные ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны. Такой тетраэдр называется ортоцентрическим.
Теорема 5. Четыре высоты ортоцентрического тетраэдра ABCD пересекается в одной точке H, причем если O – центр сферы, описанной около тетраэдра, то
OH = ---(OA + OB + OC + OD). (5)
Доказательство. Пусть ABCD – ортоцентрический тетраэдр, DG’ – его медиана, DH’ – его высота (рис.8). Тогда G’ центроид, а H’- ортоцентр треугольника ABC, причем точки O’ (центр окружности, описанной около треугольника ABC ), G’ и H’ лежат на одной прямой. Заметим, что центр O сферы, описанной около тетраэдра ABCD, лежит на перпендикуляре к плоскости треугольника ABC, восстановленном в точке O’.
Будем доказывать теорему тем же способом, что и теорему 2 для треугольника: строить разными способами точку H, удовлетворяющую соотношению (5).
Вначале сложим векторы OA, OB и OC:
OM = OA + OB + OC.
По теореме 1
OG’ = -- (OA + OB + OC),
поэтому
|
|
|
OM = 3OG’
-7-
или G’M = 2OG’. Точки O’,G’,H’, лежат на прямой Эйлера треугольника ABC, причем H’G’ = 2G’O’. Следовательно,
H’M=H’G’+G’M’=2(G’O’+OG’)=2(OG’+G’O’)=2OO’.
Отсюда вытекает, что прямые H’M и OO’ параллельны, а так как прямая OO’ перпендикулярна к плоскости ABC, то и прямая H’M перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, точка M’ лежит на прямой DH’ (если точки O и O’ совпадают, то точки M и H’ тоже совпадают).
Пусть теперь
OH= --- (OM+OD)= ---(OA+OB+OC+OD).
Из левого равенства следует, что точка H является серединой отрезка DM, т.е. точка H лежит на DH’ тетраэдра.
Аналогично строится точка N: ON=OA+OB+OD и та же точка H: OH= --(ON+OC) и доказывается, что точка H лежит на высоте тетраэдра, проведенной из вершины C, и т.д.
Следовательно, высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке H, определяемой соотношением (5).
Прямая Эйлера тетраэдра.
Теорема 6. Центр О описанной сферы, центроид G и ортоцентр Н ортоцентрического тетраэдра ABCD лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.
Доказательство. По формулам (4) и (5)
OH= -- (OA + OB + OC +OD),
OG= -- (OA + OB + OC + OD),
откуда OH=2OG. Полученное равенство означает, что точки O, G, H лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.
Прямую, на которой лежат точки O, G, H, можно назвать прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра.
В данном реферате собран материал необходимый для выявления прямой Эйлера и прямой Эйлера тетраэдра.
Использованные источники информации:
1. “Прямая Эйлера” (Э. Готман).
2. Международная информационная сеть Internet (URL: http://www.referat.ru; http://dlc.miem.edu.ru/referat).
-9-
|
|
|
12 |
