 |
Задания для самостоятельного решения
|
|
|
|
Предел функции
Пусть функция 
определена на некотором промежутке X и пусть точка 
или 
. Составим из множества X последовательность точек: 
сходящихся к 
. Значения функции в этих точках также образуют последовательность: 
Ø Число A называется пределом функции в точке 
, если для любой сходящейся к последовательность значений аргумента 
, соответствующая последовательность значений функций сходится к числу A.
Это описывает так: 
.
Односторонние (левый и правый)
Пределы функции
Левый предел – это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента 
слева от точки , т.е. 
.
Символическая запись левого предела функции:
.
Правый предел – это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента справа от точки , т.е. 
.
Символическая запись левого предела функции:
.
Теорема. Функция 
имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы, и они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.
WПример 2.15
Предел многочлена 
равен …
Варианты ответов: 1) 11; 2) 49; 3) 0; 4) 57.
Решение:
Для вычисления предела многочлена при 
надо вместо переменной x подставить значение , к которому она стремится, и подсчитать, используя соответствующие теоретические положения.
.
WПример 2.16
Предел функции 
равен …
Варианты ответов: 1)0; 2)1,5; 3)2; 4) 
.
Решение:
Используем теоремы 5 и 3 о пределе отношения и пределе суммы, а затем подставим 
в формулу дроби.
WПример 2.17
Предел отношения двух многочленов 
равен …
Решение:
WПример 2.18
Предел дроби 
равен …
Варианты ответов: 1)1; 2)2; 3)0; 4) 
.
Часто встречаются случаи, когда непосредственно нельзя применить теорему о пределе частного. Это так называемые неопределённости вида 
.
|
|
|
В ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стремится к нулю. Тогда говорят, что имеет место неопределённость вида 
. Для раскрытия неопределённости такого вида надо числитель и знаменатель разложить на множители.
Если числитель неограниченно возрастают при 
, то в таком случае имеет место неопределённость вида 
. Для её раскрытия надо разделить числитель и знаменатель дроби на старшую степень .
WПример 2.19
Предел дроби 
равен …
Решение:
Здесь имеет место неопределённость вида . Это можно видеть, подставив 
. Для решения разложим на множители числитель, и знаменатель дроби, сократим общий множитель, после чего уже подставим предельное значение :
WПример 2.20
Предел дроби 
равен …
Решение:
Это неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень 
WПример 2.21
Предел дроби 
равен …
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
; 3)0; 4)3.
Решение:
Разделим числитель и знаменатель на 
(неопределённость вида ).
3.
WПример 2.22
Предел дроби 
равен …
Варианты ответов: 1)0; 2)2; 3)-1; 4)1.
Решение:
Если непосредственно подставить в формулу 
, то получим неопределённость вида . Разложим числитель и знаменатель (а это квадратные трёхчлены) на множители, и сократим общий множитель.
-1.
WПример 2.23
Предел функции 
равен …
Варианты ответов: 1)1; 2)2; 3)3; 4)4.
Решение:
Это непосредственность вида – и числитель, и знаменатель дроби стремятся к нулю. Разложим и числитель и знаменатель для раскрытия неопределённости, и применим теорему о пределе частного и пределе суммы.
4.
WПример 2.24
Предел функции равен …
Варианты ответов: 1)0; 2)1; 3)2; 4)8.
Решение:
Покажем это. Это неопределённость вида , так как и числитель, и знаменатель стремятся к при 
. Разделим их на 
и применим теорему о пределе частного, которую до этого применять было нельзя.
|
|
|
1.
WПример 2.25
Предел функции 
равен …
Варианты ответов: 1)0; 2)2; 3)4; 4)8.
Решение:
Это неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель на и применим теорему о пределе частного, а затем теорему о пределе суммы.
4.
WПример 2.26
Предел дроби 
равен …
Решение:
Так как это неопределённость вида , то разделим и числитель, и знаменатель на 
, после чего воспользуемся теоремой о пределе частного.
0.
Рассмотрим раскрытие неопределённость вида - . Для этого умножим и разделим данное выражение на сопряжённое, после чего используем приём, рассмотренный выше: разделим и числитель, и знаменатель на старшую степень переменной .
WПример 2.27
Предел функции 
равен …
Решение:
Умножим на сопряжённое выражение 
и разделим на него.
Теперь разделим и числитель и знаменатель на 
.
Задания для самостоятельного решения
44. 
; 45. 
;
46. 
; 47. 
;
48. 
; 49. 
;
50. 
; 51. 
;
52. ; 53. 
54. 
55. 
;
|
|
|
