 |
Геометрические фигуры на плоскости
|
|
|
|
В последние годы наметилась тенденция к включению значительного по объему геометрического материала в начальный курс математики. Но для того, чтобы мог познакомить учащихся с различными геометрическими фигурами, мог научить их правильно изображать, ему нужна соответствующая математическая подготовка. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить.
При изображении плоской фигуры не возникает никаких геометрических проблем. Чертеж служит либо точной копией оригинала, либо представляет ему подобную фигуру. Рассматривая на чертеже изображение круга, мы получаем такое же зрительное впечатление, как если бы рассматривали круг-оригинал.
Поэтому изучение геометрии начинается с планиметрии.
Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.
Отрезок, прямая, круг – геометрические фигуры.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской.
Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры.
Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую, можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Например, объединением двух лучей АВ и МК является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.
Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.
|
|
|
Фигура F1 – выпуклая, а фигура F2 – невыпуклая.
Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка. нетрудно убедится в том, что выпуклой фигурой является круг.
Если продолжить отрезок XY до пересечения с окружностью, то получим хорду АВ. Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в круге, и, значит, круг – выпуклая фигура.
Основные свойства простейших фигур на плоскости выражаются в следующих аксиомах:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Эта аксиома выражает основное свойство принадлежности точек и прямых на плоскости.
2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Этой аксиомой выражается основное свойство расположения точек на прямой.
3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Очевидно, что аксиома 3 выражает основное свойство измерения отрезков.
4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Этим предложением выражается основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
5. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180о. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Эта аксиома выражает основное свойство измерения углов.
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180О, и только один.
В этих аксиомах отражаются основные свойства откладывания углов и отрезков.
К основным свойствам простейших фигур относится и существование треугольника, равного данному.
|
|
|
8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Основные свойства параллельных прямых выражается следующей аксиомой.
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Рассмотрим некоторые геометрические фигуры, которые изучаются в начальной школе.
Углы.
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной.
Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.
Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым.
Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие плоского угла.
Плоский угол – это часть плоскости, ограничения двумя различными лучами, исходящими из одной точки.
Существует два плоских угла, образованные двумя лучами с общим началом. Они называются дополнительными. На рисунке изображены два плоских угла со сторонами ОА и ОВ, один из них заштрихован.
Углы бывают смежные и вертикальные.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
Сумма смежных углов равна 180 градусов.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
Углы АОД и СОВ, а также углы АОС и ДОВ – вертикальные.
Вертикальные углы равны.
Параллельные и перпендикулярные прямые.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Если прямая а параллельна прямой в, то пишут а II в.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Если прямая а перпендикулярна прямой в, то пишут а в.
Треугольники.
Треугольников называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.
|
|
|
Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю.
В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называются перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Четырехугольники.
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами треугольника, а соединяющие из отрезки – его сторонами.
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются противолежащими.
У четырехугольника АВСД вершины А и В – соседние, а вершины А и С – противолежащие; стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АД – противолежащие; отрезки АС и ВД – диагонали данного четырехугольника.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСД – выпуклый, а четырехугольник КРМТ – невыпуклый.
Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
ВС и АД – основания трапеции; АВ и СД – боковые стороны; КМ – средняя линия трапеции.
|
|
|
Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Из множества прямоугольников выделяют квадраты.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Окружность.
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром.
Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. ОА – радиус, СД – хорда, АВ – диаметр.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.
По новым учебникам в новых программах М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, С.И. Волковой, С.В. Степановой в 4 классе даются задачи на построение, такие, которых раньше в программе по математике в начальной школе не было. Это такие задачи, как:
- построить перпендикуляр к прямой;
- разделить отрезок пополам;
- построить треугольник по трем сторонам;
- построить правильный треугольник, равнобедренный треугольник;
- построить шестиугольник;
- построить квадрат, пользуясь свойствами диагоналей квадрата;
- построить прямоугольник, пользуясь свойством диагоналей прямоугольника.
Рассмотрим построение геометрических фигур на плоскости.
Раздел геометрии, изучающий геометрические построения, называется конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие "построить фигуру". Основные предложения формируются в виде аксиом и сводятся к следующим.
1. Каждая данная фигура построена.
2. Если построены две (или более) фигуры, то построено и объединение этих фигур.
3. Если построены две фигуры, то можно установить, будет ли их пересечение пустым множеством или нет.
4. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.
5. Если построены две фигуры, то можно установить, будет ли их разность пустым множеством или нет.
6. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то она построена.
7. Можно простроить точку, принадлежащую простроенной фигуре.
8. Можно построить точку, не принадлежащей построенной фигуре.
Для построения геометрических фигур, обладающих некоторыми указанными свойствами, пользуются различными чертежными инструментами. Простейшими из них являются: односторонняя линейка (в дальнейшем просто линейка), двусторонняя линейка, угольник, циркуль и др.
|
|
|
Различные чертежные инструменты позволяют выполнять различные построения. Свойства чертежных инструментов, используемые для геометрических построений, также выражаются в форме аксиом.
Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки, мы также остановимся на рассмотрении основных построений, выполняемых именно этими чертежами инструментами.
Итак, с помощью линейки можно выполнить следующие геометрические построения.
1. построить отрезок, соединяющий две построенные точки;
2. построить прямую, проходящую через две построенные точки;
3. построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через построенную точку.
Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:
1. построить окружность, если построен ее центр и отрезок, равный радиусу окружности;
2. построить любую из двух дополнительных дуг окружность, если построены центр окружности и концы этих дуг.
Элементарные задачи на построение.
Задачи на построение – это, пожалуй, самые древние математические задачи, они помогают лучше понять свойства геометрических фигур, способствуют развитию графических умений.
Задача на построение считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
Рассмотрим некоторые элементарные задачи на построение.
1. Построить на данной прямой отрезок СД, равный данному отрезку АВ.
Возможность только построения вытекает из аксиомы откладывания отрезка. С помощью циркуля и линейки оно осуществляется следующим образом. Пусть даны прямая а и отрезок АВ. Отмечаем на прямой точку С и строим с центром в точке С окружность с прямой а обозначаем Д. Получаем отрезок СД, равный АВ.
2. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
Пусть даны точки О и прямая а. Возможны два случая:
1. Точка О лежит на прямой а;
2. Точка О не лежит на прямой а.
В первом случае из обозначим точку С, не лежащую на прямой а. Из точки С как из центра списываем окружность произвольного радиуса. Пусть А и В – точки ее пересечения. Из точек А и В описываем окружность одного радиуса. Пусть точка О – точка их пересечения, отличная от С. Тогда полупрямая СО – это биссектриса развернутого угла, а также и перпендикуляр к прямой а.
Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность, пересекающую прямую а, а затем из точек А и В тем же, радиусом проводим еще две окружности. Пусть О – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Прямая ОО/ и есть перпендикуляр к данной прямой а. Докажем это.
Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО/. Треугольники АОВ и АО/В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О/АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда из углы АСО и АСО/ равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть перпендикуляр к прямой а.
3. Через данную точку провести прямую, параллельную данной.
Пусть даны прямая а и точка А вне этой прямой. Возьмем на прямой а какую-нибудь точку В и соединим ее с точкой А. Через точку А проведем прямую С, образующую с АВ такой же угол, какой АВ образует с данной прямой а, но на противоположной стороне от АВ. Построенная прямая будет параллельна прямой а., что следует из равенства накрест лежащих углов, образованных при пересечении прямых а и с секущей АВ.
4. Построить касательную к окружности, проходящую через данную на ней точку.
Дано: 1) окружность Х (О, ч)
2) точка А х
Построить: касательную АВ.
Построение.
1. прямая АО (аксиома 2 линейки)
2. окружность Х (А, ч), где ч – произвольный радиус (аксиома 1 циркуля)
3. точки М и N пересечения окружности х1, и прямой АО, то есть {М, N} = х1 АО (аксиома 4 общая)
4. окружность х (М, r2), где r2 – произвольный радиус, такой что r2 r1 (аксиома 1 циркуля)
5. окружность х (N r2) (аксиома 1 циркуля)
6. Точки В и С пересечения окружностей х2 и х3, то есть { В,С} = х2 х3 (аксиома 4 общая).
7. ВС – искомая касательная (аксиома 2 линейки).
Доказательство: По построению имеем: МВ = МС = NВ = NC = r2. Значит фигура МВNC – ромб. точка касания А является точкой пересечения диагоналей: А = MN BC, BAM = 90 градусов.
Рассмотрев материал данного параграфа, вспомнили основные понятия планиметрии: отрезок, луч, угол, треугольник, четырехугольник, окружность. Рассмотрели основные свойства этих понятий. А так же выяснили, что построение геометрических фигур с заданными свойствами при помощи циркуля и линейки осуществляется по определенным правилам. Прежде всего надо знать, какие построения можно выполнить с помощью линейки, не имеющей делений и с помощью циркуля. Эти построения называются основными. Кроме того, надо уметь решать элементарные задачи на построение, т.е. уметь строить: отрезок, равный данному: прямую, перпендикулярную данной прямой, и проходящую через данную точку; прямую, параллельную данной, и проходящую через данную точку, касательную к окружности.
Уже в начальной школе дети начинают знакомиться с элементарными геометрическими понятиями, геометрический материал занимает значительное место в традиционных и альтернативных программах. Это связано со следующими причинами:
1. Он позволяет активно использовать наглядно-действенный и наглядно-образный уровень мышления, которые являются наиболее близкими детям младшего школьного возраста, и опираясь на которые, дети выходят на словесно-образный и словесно-логический уровни.
Геометрия, как и любой другой учебный предмет, не может обходиться без наглядности. Известный русский методист-математик Беллюстин В. К. еще в начале XX века отмечал, что "никакое отвлеченное сознание невозможно, если ему не предшествует обогащение сознания нужными представлениями". Формирование отвлеченного мышления у школьников с первых школьных шагов требует предварительного пополнения их сознания конкретными представлениями. При этом удачное и умелое применение наглядности побуждает детей к познавательной самостоятельности и повышает их интерес к предмету, является важнейшим условием успеха. В тесной связи с наглядностью обучения находится и его практичность. Именно из жизни черпается конкретный материал для формирования наглядных геометрических представлений. В этом случае обучение становится наглядным, согласованным с жизнью ребенка, отличается практичностью (Н/Ш:2000, №4, с. 104).
2. Увеличение объема геометрического материала позволяет более эффективно подготовить учеников к изучению систематического курса геометрии, который вызывает у школьников общей и средней школы большие трудности.
Изучение элементов геометрии в начальных классах решает следующие задачи:
- развитие плоскостного и пространственного воображения у школьников;
- уточнение о обогащение геометрических представлений учеников, приобретенных в дошкольном возрасте, а также помимо обучения в школе;
- обогащение геометрических представлений школьников, формирование некоторых основных геометрических понятий;
- подготовка к изучению систематического курса геометрии в среднем звене школы.
"В современных исследованиях педагогов и методистов все большее признание получает идея и трех уровнях знаний, через которые так или иначе проходит умственное развитие школьника. Эрдниев Б. П. и Эрдниев П. М. излагают их так:
1-й уровень – знание-знакомство;
2-й уровень – логический уровень знания;
3-й уровень – творческий уровень знания.
Геометрический материал в младших классах изучается на первом уровне, т. е. на уровне знания-знакомства (например, названия предметов: шар, куб, прямая линия, угол). На этом уровне никакие правила и определения не заучиваются. если отличает зрительно или на ощупь куб от шара, овал от круга – это тоже знание, которое обогащает мир представлений и слов. (Н/Ш: 1996, №3, с.44).
В настоящее время учителя составляют сами, подбирают из изданной в достаточном количестве разнообразной литературы математические задачи, направленные на развитие мышления, в том числе и таких видов мышления, как наглядно-действенное и наглядно – образное, включают их во внеклассную работу.
Это, например, конструирование из палочек геометрических фигур, распознавание фигур, полученных перегибанием листа бумаги, разбиение целых фигур на части и составление целых фигур из частей.
Приведу примеры математических заданий на развитие наглядно-действенного и наглядно-образного мышления.
1. Составь из палочек:
2. Продолжи
3. Найди части, на которые разбит прямоугольник, изображенный слева, и отметь их крестиком.
4. Соедини стрелками изображения и названия соответствующих фигур.
Прямиугольник.
Треугольник.
Точка.
Луч.
Отрезок.
Квадрат.
Круг.
Окружность.
Кривая линия.
5. Поставь номер фигуры перед ее названием.
Угол.
Прямоугольник.
Круг.
Квадрат.
Треугольник.
6. Сконструировать из геометрических фигур:
Курс математики – изначально интегрированный. Это способствовало созданию интегрированного курса "Математика и конструирование.
Так как одна из задач уроков трудового обучения – развитие у детей младшего школьного возраста всех видов мышления, в том числе наглядно-действенного и наглядно-образного, то это создало преемственность с действующим курсом математики в начальных классах, который обеспечивает математическую грамотность учащихся.
самый распространенный на уроках труда вид работы – аппликации из геометрических фигур. При изготовлении аппликации у детей совершенствуются навыки разметки, решаются задачи сенсорного развития учащихся, развивается мышление, так как, расчленяя сложные фигуры на простые и, наоборот, составляя из простых фигур более сложные, школьники закрепляют и углубляют свои знания о геометрических фигурах, учатся различать их по форме, величине, цвету, пространственному расположению. Такие занятия открывают возможность для развития творческого конструкторского мышления.
Специфика целей и содержания интегрированного курса "Математика и конструирование" определяет своеобразие методов его изучения, форм и приемов проведения занятий, где на первый план выходит самостоятельная конструкторско-практическая деятельность детей, реализуемая в форме практических работ и заданий, расположенных в порядке нарастания уровня трудности и постепенного обогащения их новыми элементами и новыми видами деятельности. Поэтапное формирование навыков самостоятельного выполнения практических работ включает в себя как выполнение заданий по образцу, так и задания творческого характера.
Следует заметить, что в зависимости от вида урока (урок изучения нового математического материала или урок закрепления и повторения) центр тяжести при его организации в первом случае сосредоточен на изучении математического материала, а во втором – на конструкторско-практической деятельности детей, в ходе которой идет активное использование и закрепление приобретенных ранее математических знаний и умений в новых условиях.
В связи с тем, что изучение геометрического материала по этой программе идет главным образом методом практических действий м объектами и фигурами, большое внимание следует обратить на:
- организацию и выполнение практических работ по моделированию геометрических фигур;
- обсуждение возможных способов выполнения того или иного конструкторско-практического задания, в ходе которого могут быть выявлены свойства как самих моделируемых фигур, так и отношений между ними;
- формирование умений преобразовывать объект по заданным условиям, функциональным свойствам и параметрам объекта, узнавать и выделять изученные геометрические фигуры;
- формирование элементарных навыков построения и измерения.
В настоящее время существует много параллельных и альтернативных программ по курсу математики в начальных классах. Рассмотрим и сравним их.
|
|
|
