Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

 

1. Неопределенности вида и .

Пусть функции f(x) и j(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (за исключением, быть может, ее самой), причем j¢(х) ¹ 0. Тогда если

или , то
,

при условии, что предел правой части этого равенства существует (правило Лопиталя).

Это правило примкнимо и в том случае, когда х ® ¥.
2. Неопределенности вида 0 × ¥ и ¥ - ¥.

Такие неопределенности с помощью алгебраических преобразований приводятся к неопределенностям вида или .

^ 3. Неопределенности вида 1^¥, ¥⁰ и 0⁰.

Эти неопределенности с помощью логарифмирования сводятся к неопределенности вида 0 × ¥.

4. Исследование функций и построение графиков
Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу

число y, зависящее от x.

Рассмотрим произвольную функцию f. Независимую переменную x называют также аргументом функции. Число y, соответствующее числу x, называют значением функции f в точке x и обозначают f(x). Множество, состоящее из всех чисел f(x), таких, что x принадлежит области определения функции f, называют областью значений функции f и обозначают E(f).

Функция f называется четной, если для любого x из ее области определения

f (-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат (ОY).

Функция f называется нечетной, если для любого x из ее области определения

f (-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной ни нечетной, называется функцией общего вида.
Примеры. Проверить четность (нечетность) следующих функций:

1) ; 2) ; 3) .
Решение:

1) .

- функция четная.

2)

- функция нечетная.

3)

- функция общего вида.
Функцию f называют периодической с периодом Т ¹ 0, если для любого х

из области определения значения этой функции в точках х, х – Т, х + Т равны, т.е.

f (x + T) = f (x) = f (x – T).

Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси ОХ (здесь n – любое натуральное число).
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными. Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности (которые иногда чередуются с промежутками постоянства функции).

Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком ее первой производной f¢(x), а именно:

- если в некоторомпромежутке f¢(x) > 0, то функция возрастает на этом промежутке.

- если в некоторомпромежутке f¢(x) < 0, то функция убывает на этом промежутке.

- если в некоторомпромежутке f¢(x) = 0, то функция постоянна на этом промежутке.

Точка х = х₀ называется точкой максимума функции y = f(x), если существует такая окрестность точки х₀ , что для всех х (х ¹ х₀) этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x₀).

Точка х = х₀ называется точкой минимума функции y = f(x), если существует такая окрестность точки х₀ , что для всех х (х ¹ х₀) этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x₀).

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом) или экстремумом функции.
Необходимое условие экстремума. Если функция y = f(x) имеет экстремум при x = x₀, то ее производная в этой точке равна нулю или бесконечности либо вовсе не существует, при этом сама функция в точке x₀ определена.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная f¢(x)

обращается в ноль или терпит разрыв.
Первое достаточное условие существования экстремума функции. Пусть точка х=х₀ является критической точкой I рода функции y = f(x), а сама функция дифференцируема во всех точках некоторого промежутка, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой этой точки). Тогда:

1) если при переходе слева направо через критическую точку I рода х = х₀ первая производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума, т.е. х = х₀ – точка максимума, y_max = f(x₀);

+ max - f¢(x)

|

x = x₀ f(x) x

2) если при переходе слева направо через критическую точку I рода х = х₀ первая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума, т.е. х = х₀ – точка минимума, y_min = f(x₀);

 

- min + f¢(x)

÷

x = x₀ f(x) x

3) если при переходе через критическую точку I рода первая производная не меняет знака, то в этой точке экстремума нет.
Пример. Найти экстремумы функции y = (1 – x ²)³.

1) Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. D (f) = (-¥;+¥).

2) Критические точки определяем из условия f¢(x) = 0. Находим производную:

y¢ = 3(1 – x ²)²×(1 – x ²)¢ = 3(1 – x ²)²×(-2 x) = -6 x (1 – x ²)²;

y ¢ = 0; -6 х (1 – х ²)² = 0, х ₁ = 0, х ₂ = -1, х ₃ = 1.

3) Отметим эти критические точки на числовой прямой.

 

+ + max - - f¢(x)

| | |

-1 0 1 f(x) x
4) Исследуем знак производной y¢ = -6 x (2 – x ²)² в каждом из полученных интервалов:

y ¢ (-2) > 0, y¢ (-0,5) > 0, y ¢ (0,5) < 0, y ¢ (2) < 0.

5) Точка х = 0 – точка максимума, так как при переходе через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус: y_max = y (0) = 1.

Точки х = -1 и х = 1 не являются точками экстремума, так как при переходе через них первая производная не поменяла знак.
^ Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке

х =х₀ первая производная функции равна нулю (f¢(x₀) = 0), а вторая производная отлична от нуля, то х = х₀ – точка экстремума.

При этом, если вторая производная в этой точке положительна (f¢¢(x₀) > 0),

то х = х₀ – точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна

(f¢¢(x₀) < 0), то х = х₀ – точка максимума.

Пример. Найти экстремумы функции f(x) = x ³ – 3 x ² + 1.

Решение.

1) Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. D (f) = (-¥;+¥).

2) Критические точки определяем из условия f¢(x) = 0:

f¢(x) = 3 x ² – 6 x,

f¢(x) = 0, 3 x ² – 6 x = 0,

3 x (x – 2) = 0,

x ₁ = 0, x ₂ = 2.

3) Находим вторую производную функции f¢¢(x) = 6 x – 6.

Исследуем знак второй производной в каждой критической точке:

f¢¢( 0) = -6 < 0; значит, х = 0 – точка максимума, y_max = y (0) = 1

f¢¢(2) = 6 > 0; значит, х = 2 – точка минимума, y_min = y (2) = 2³ - 3×2² + 1 = 8 – 12 + 1 = -3.
Кривая обращена выпуклостью вверх или выпукла (Ç) на некотором промежутке, если она расположена ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Кривая обращена выпуклостью вниз или вогнута (È) на некотором промежутке, если она расположена выше касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

^ Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: