Функция распределения и ее свойства

Случайные величины

Определение. Пусть — произвольное вероятностное пространство.

Случайной величиной называется измеримая функция , отображающая в множество действительных чисел , т.е. функция, для которой прообраз любого борелевского множества есть множество из -алгебры .

Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.

2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно брошенной в квадрат точки .

Множество значений случайной величины будем обозначать , а образ элементарного события — . Множество значений может быть конечным, счетным или несчетным.

Определим -алгебру на множестве . В общем случае -алгебра числового множества может быть образована применением конечного числа операций объединения и пересечения интервалов или полуинтервалов вида (), в которых одно из чисел или может быть равно или .

В частном случае, когда — дискретное (не более чем счетное) множество, -алгебру образуют любые подмножества множества , в том числе и одноточечные.

Таким образом -алгебру множества можно построить из множеств или , или .

Будем называть событием любое подмножество значений случайной величины : . Прообраз этого события обозначим . Ясно, что ; ; . Все множества , которые могут быть получены как подмножества из множества , , применением конечного числа операций объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины — и выделив систему событий , построим измеримое пространство . Определим вероятность на подмножествах (событиях) из таким образом, чтобы она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом: .

Тогда тройка назовем вероятностным пространством случайной величины , где

— множество значений случайной величины ; — -алгебра числового множества ; — функция вероятности случайной величины .

Если каждому событию поставлено в соответствие , то говорят, что задано распределение случайной величины . Функция задается на таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность произвольного события . Тогда событиями могут быть события .

Функция распределения и ее свойства

Рассмотрим вероятностное пространство , образованное случайной величиной .

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция действительного переменного , определяющая вероятность того, что случайная величина примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа :

(1)

Там где понятно, о какой случайной величине , или идет речь, вместо будем писать . Если рассматривать случайную величину как случайную точку на оси , то функция распределения с геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка в результате реализации эксперимента попадет левее точки .

Очевидно что функция при любом удовлетворяет неравенству . Функция распределения случайной величины имеет следующие свойства:

2) Функция распределения — неубывающая функция , т.е. для любых и , таких что , имеет место неравенство .

Доказательство. Пусть и и . Событие, состоящее в том, что примет значение, меньшее, чем , представим в виде объединения двух несовместных событий и : .

Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, или по формуле (1)

, (2)

откуда , так как . Свойство доказано.

Теорема. Для любых и вероятность неравенства вычисляется по формуле

(3)

Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2). Таким образом, вероятность попадания случайной величины в полуинтервал равна разности значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала и .

2) ; .

Доказательство. Пусть и — две монотонные числовые последовательности, причем , при . Событие состоит в том, что . Достоверное событие эквивалентно объединению событий :

; .

Так как , то по свойству вероятностей , т.е. .

Принимая во внимание определение предела, получаем ;

3) Функция непрерывна слева в любой точке ,

Доказательство. Пусть — любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . Тогда можно записать:

На основании аксиомы 3

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к , то остаток ряда, начиная с некоторого номера , будет меньше , (теорема об остатке ряда)

.

Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим

,

откуда или , а это означает, что .

Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию и . И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше действительного числа , вычисляется по формуле .

Доказательство. Достоверное событие представим в виде объединения двух несовместных событий и . Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова или , откуда следует искомая формула.

Определение. Будем говорить, что функция распределения имеет при скачок , если , где и пределы слева и справа функции распределения в точке .

Теорема. Для каждого из пространства случайной величины имеет место формула

Доказательство. Приняв в формуле (3) , и перейдя к пределу при , , согласно свойству 3), получим искомый результат.

Можно показать, что функция может иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного скачка , скачков — не более 3-х, скачков не более чем .

Иногда поведение случайной величины характеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона распределения функцию распределения .

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: