Условные обозначения, используемые в расчетах.

Переменная	Описание.
-R-	Годовая сумма пенсии
-E-	Размер единовременного взноса
-A-	Сумма, накопленная на индивидуальном счете, на начало выплат пенсий.
-x-	Возраст застрахованного в момент заключения договора.
-L-	Возраст выхода на пенсию.
-w-	Возраст в момент окончания действия контракта.
-n-	Срок накопления, n=L-x
-t-	Срок выплат пенсий, t=w-L

Сберегательные схемы.

В данном случае пенсия представляет собой финансовый аннуитет, в котором не учитываются вероятности дожития до определенного возраста, то есть, что человек вкладывает, то он и получает, с учетом доходности на вложенные средства. Рассчитывать пенсии можно двумя методами:

1. Взносы уплачиваются единовременно. Данная схема отображена на графике. Видно, что после уплаты в фонд первоначальной суммы, она накапливается с годами (срок n лет), пропорционально норме доходности до момента начала выплат пенсий. После чего накопленные в фонде средства постепенно расходуются, до тех пор, пока не кончатся совсем (срок t лет). В силу финансовой эквивалентности, некоторые из приведенных на графике обозначений можно объединить следующим выражением:

2. Премия уплачивается в рассрочку. Здесь схема похожа на предыдущую, это подтверждает график, нарисованный справа. Разделенные на равные части премии представляют собой поток платежей, поэтому накопление происходит медленнее, чем в первом случае, при прочих равных условиях. Период выплат такой же, как и в первом случае. Математически данную схему можно отобразить следующим выражением:

Преобразовывая приведенные выше равенства, не составит труда определить как размер требуемой пенсии, та к и размер необходимой величины премии, которую нужно внести в пенсионный фонд для обеспечения себя нужной пенсией. Кроме этого, можно определить срок, в который необходимо внести платеж, для обеспечения заданной величины пенсии, или срок в течении которого будет уплачиваться накопленная в фонде пенсия.

Страховые схемы.

По сути дела пенсионное страхование является одним из видов страхования на дожитие. Если бы пенсия выплачивалась разовой выплатой, то эти два вида страхования были бы полностью одинаковыми. Существенным отличием здесь является то, что пенсия представляет собой страховой аннуитет. То есть каждая последующая выплата зависит от вероятности дожития лица до следующей выплаты. Кроме этого, все платежи приводятся здесь к начальному моменту времени (момент вклада первого взноса).

Нетто-премия в данном виде страхования может быть определена при двух условиях, когда она вносится единовременно и когда платежи вносятся в рассрочку. Система определения нетто-тарифов основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, поэтому, приведенные ниже тождества отличаются от предыдущих лишь некоторыми нюансами.

1. Нетто-премия вносится единовременно. Здесь нетто тариф равен стоимости аннуитета, соответствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия – произведению нетто-тарифа на размер пенсии. Условия выплат, в данном случае, влияют на применяемый в расчетах вид аннуитета. Рассмотрим некоторые из них:

- Пенсия буде выплачиваться с возраста x лет пожизненно, в начале года:   

- Пенсия будет выплачиваться с возраста x+n лет пожизненно, в начале года:

Зная формулы для определения аннуитетов, можно определить размер пенсии и размер нетто-премий для любого варианта пенсионного обеспечения.

2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Для обеспечения себя достаточной пенсией нужно вносить в пенсионный фонд большую сумму средств, которой мы не всегда располагаем, или достаточно большим интервалом времени до момента выплат пенсий, что чревато риском развала страховой компании и прочими рисками, связанными с нестабильностью политических и экономических систем. Удобным вариантом вложения средств является данная схема, которая позволяет не в ущерб себе и близким вносить часть доходов в пенсионный фонд, обеспечив себя в будущем должной пенсией. Платежи можно вносить как ежемесячно, так и раз в год. Здесь буде рассмотрен 2-ой вариант. В данном случае, как размер пенсии, так и вкладываемые средства зависят от вероятности дожития, поэтому, в приведенных ниже уравнениях финансовой эквивалентности, как слева, так и справа используются страховые аннуитеты. Например, взносы делаются раз в год начиная с возраста x лет до возраста  x+t лет, а пенсия выплачивается с возраста x+n лет, пожизненно. Как взносы, так и пенсии уплачиваются в конце каждого года: . Если взносы производятся в начале года, то в данном случае применяется аннуитет пренумерандо: .

Так применяя различные виды аннуитетов, можно построить различные варианты пенсионных схем. Здесь, как и везде выше, все равенства строятся по принципу финансовой эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Исходя из составленных равенств, можно определить помимо ежегодных взносов, размер ежегодной пенсии и наоборот.

Страховые резервы.

При уплате страхователем страховой премии выполняет свои финансовые обязательства, и обязывает страховщика отвечать по договору страхования. То есть страховщик, по сути, становится кредитором страхователя. И если наступает страховой случай, то страховщик обязуется уплатить страхователю страховую сумму. Чтобы суметь произвести обещанные выплаты, страховщику необходимо создать резервы.

В личном страховании существуют резервы двух типов:

- резервы по страховым случаям, подлежащим урегулированию (резервы по уже произошедшим, но не оплаченным страховым событиям)

- резервы по текущим (действующим) договорам.

Страховой резерв отражает долг страховщика перед страхователем. Обязательства страховщика носят вероятностный характер, так как страховой случай может не произойти, и все средства страхователя останутся у страховщика, долг исчезнет. Кроме того выплаты страховых премий и страховой суммы не совпадают во времени, а, следовательно, имеет место эффект накопления. Поэтому при расчете математических резервов необходимо использовать современную вероятную стоимость обязательств.

Схема баланса компании по страхованию жизни.

Актив	Пассив
Инвестиции	Собственные фонды
	Математические резервы
Прочие активы	Другие обязательства

Из данной схемы видно, что математические резервы – это разница между обязательствами компании и обязательствами перед компанией. Исходя из приведенных выше рассуждений, можно изменить данное определение, а, именно, страховой резерв – разница между современной вероятной стоимостью будущих обязательств страховщика и современной вероятной стоимостью будущих обязательств страхователя. Так как страховые резервы накапливаются у страховщика, то они достигают со временем огромных размеров, которые можно эффективно инветировать. Однако, при использовании этих средств, необходимо помнить, что они принадлежат страхователям, и являются активами, направленными на выполнение обязательств перед страхователями.

Резерв можно определить на любой момент действия страхового контракта. Для понимания сущности страхового резерва рассмотрим несколько вариантов его определения:

1. Определение математического резерва в момент заключения договора до первой выплаты премии. При этом, предусматриваются пожизненные взносы в начале года Р_х. Тогда, по определению: , где A_x – современная стоимость неких обязательств страховщика, ₀V_x – размер страхового резерва в возрасте х лет, в момент заключения договора. Так как, страхователь еще не заплатил ни одной страховой премии, то страховщик также ему ничего не должен, поэтому ₀V_x=0. С математической точки зрения, страховой резерв – разница между некоторым постоянным числом и ожидаемой суммой поступлений от страхователя. Размер резерва зависит от страховой суммы, размера страховой премии, доходности от инвестиций и периода сделки.

2. Если страховые премии уже выплачиваются страхователем в течении времени t, тогда величина страхового резерва определяется по формуле:

3. Страхование на дожитие. В данном случае страховые премии уплачиваются одним платежем в момент заключения договора, а после истечения срока t (в момент x+t) выплаты уже не ожидаются, поэтому величина резерва определяется современной величиной обязательств страховщика, зависящих от уплаченной нетто-премии: _tV_x=A_x+t. Современная вероятная стоимость обязательств будет определяться в зависимости от страховой суммы R, вероятности дожития от возраста x+t до возраста x+n, а также ставкой доходности, сроком страхования и моментом заключения сделки: .

4. Если в страховании на дожитие страховые премии уплачиваются в рассрочку, на протяжении всего срока страхования, до наступления страхового случая (период t), исходя из определения страховго резерва, его величина определяется по формуле: , где р – страховой тариф.

5. Накопленные в страховой компании средства инвестируются в различные виды деятельности, следовательно, на них начисляется процент. В данном случае, возникает путаница между страховым резервом и накопленной суммой, так как кажется, что страховщик, чтобы обеспечить возврат средств страхователю, при наступлении страхового случая, накапливает их по обычной схеме наращения (как в банке). Пусть нетто-премия увеличивается на коммерческом счете по ставке i% в до момента x+t, тогда наращенная сумма определется по формуле: . А в этот же момент времени страховой резерв определяется выражением: . То есть страховой резерв больше чем наращенная нетто-премия, если вероятность дожития до момента t не равна единицы. Это очевидно, так как если бы вероятность наступления страхового события не влияла на величину страховой суммы, или обязательств страховщика, то клиенту, было бы выгоднее положить деньги в банк, а не застраховаться. Величина страхового резерва – есть величина наращенной нетто-премии, который изменяется, обратно пропорционально вероятности дожития от х лет до возраста x+t лет. Чем больше вероятность умереть в этом интервале, тем меньше страховой резерв. Страховой резерв и страховые суммы больше, чем банковский процент, так как в страхователи несут солидарную ответственность перед друг другом, в зависимости от вероятности наступления страхового случая. То есть, если страховое событие не наступит, то часть средств не полученных страхователем получит кто-нибудь другой.

6. Страхование жизни. По определению имеем: . При уплате нетто-премии единовременным платежем, после момента времени x+t взносы страхователь не уплачивает, следовательно, правая часть равенства определяется лишь обязательствами страховщика А_x+t. Тогда, . Аналогично данным преобразованиям выводятся формулы для расчета страхового резерва при платежах в рассрочку. Все данные приводятся к моменту времени x+t.

7. Страхование пенсии. Рассмотрим вариант, когда страховая премия уплачивается единовременно в возрасте x лет, а пенсия выдается с возраста L лет (L>x) пожизнено. Тогда весь период от возаста x до предельного возраста можно разделить на два временных интервала. В первом происходит накопление средств – период до выплаты пенсии (L-x), а во втором периоде, с продолжительностью (w-L) – выплата пенсий (расходование средств). Схематично это можно увидеть на представленном выше графике, показывающем накопление страховых премий и их расходование. На начало взноса резерв равен страховой премии, или современной стоимости страховых выплат. Пусть размер годовой пенсии равен R, а ее выплата происходит в начале года, тогда . Далее, в интервале от х лет до L лет, резерв увеличивается пропорционально норме доходности: . Здесь имеется ввиду, что от момента х лет проходит срок t<(L-x), и страховой резерв определяется как нетто премия в момент времени t+x. Чем больше проходит времени, тем меньше знаменатель, а, следовательно, тем больше величина страхового резерва. Затем, в интервале от возраста L лет до предельного возраста w лет, происходит выплата пенсий, а следовательно обязательства страховщика сокращаются. Коме того, часть страхователей пенсию не получают, так как они умирают и договоры страхования перестают действовать, что также является фактором сокращения обязательств страховщика. Страховой резерв в этот период времени определяется по формуле: . Здесь страховой тариф определяется страховым аннуитетом пренумерандо, в момент времени x+t. Данная формула соответствует формуле по вычислению нетто-премии в момент x+t, при пенсионном страховании. Следовательно, страховой резерв здесь равен нетто-премии, уплачиваемой страховщику для обеспечения страхователя немедленной пенсией в размере R. Действительно, внося взнос, страхователь начинает получать пенсию сразу же, поэтому накопления сразу начинают расходоваться. Они остаются постоянными лишь в том случае, когда наращение процентов, и смертность других клиентов так влияют на изменение страховой суммы, что ее увеличение больше ее уменьшения. Это может быть, когда процентная ставка слишком велика, и(или) смертность клиентов страховщика слишком высока, и(или) маленький размер выплат. Описанное выше можно отобразить графически. В данном случае, страховой резерв представляет собой нетто-премию по пенсионному страхованию, в различные моменты времени.

_8. Если взносы производятся в рассрочку, то по сути ничего не меняется. Пусть предусматривается пожизненная выплата пенсий и рассрочка выплат в течении k лет. В данном случае общих срок страхования можно разбить на три анализируемых периода, где страховой резерв изменяется с различной скоростью. Первый период – от возраста x до возраста x+k лет. Здесь сумма резерва увеличивается как за счет премий, так и за счет процентов. Во втором периоде (от x+k лет до L лет) резерв увеличивается только за счет процентов. И в третьем периоде (от L до w лет) резерв увеличивается за счет процентов, и сокращается за счет выплаты пенсий. В возрасте x резерв равен первому взносу, а в возрасте w лет резер равен 0. Пусть пенсия уплачивается 1 раз в году, пренумерандо. Величина резерва в момент x+t определяется по формуле: , где A_x+t- современная стоимость пенсионных выплат (обязательства страховщика), производимых после возраста x+t лет; P_x- годовой размер премии, установленный в возрасте x лет; a_x+n – стоимость немедленного, ограниченного страхового аннуитета пренумерандо в возрасте x+t лет. Данная формула представляет собой чисты обязательства страховщика перед клиентом, в возрасте x+t лет. Для первого периода страховой резерв определяется по формуле: . Здесь страховой резерв равен определяется в момент времени t (x<t<L), он равен разнице между стоимостью пенсий в момент времени t и накопленными страховыми выплатами, к этому же моменту. Применяя принцип финансовой эквивалентности можно предположить, что Для второго периода (k<t<n): . И для третъего периода (t>n): . Как видно для последних двух периодов, величины страховых резервов остаются такие же, как и в случае с единовременной нетто-премей. Это объясняется тем, что процесс накопления в этих двух вариантах, становятся одинаковыми с момента x+k.

12345

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: