О функции Грина разнопорядковой краевой задачи.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” Факультет математический Кафедра функционального анализа <Тема выпускной квалификационной работы> ВКР <указать вид в соответствии с ГОC> <Шифр, наименование направления подготовки / специальности> <Наименование специализации> Допущено к защите в ГАК Зав. кафедрой < Подпись> <расшифровка> <ученая степень, звание> __.__.200__ Студент < Подпись> <расшифровка подписи> Руководитель < Подпись> <расшифровка подписи> <ученая степень, звание> Консультант < Подпись> <расшифровка подписи> <ученая степень, звание> Воронеж200 9
О ФУНКЦИИ ГРИНА РАЗНОПОРЯДКОВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.
Для струнно-стержневой модели
рассмотрим краевую задачу:
По левым частям равенств (1) – (6) построим функционалы Тогда задачу (1) – (8) можно записать в виде:
Если задача (9), (10) невырожденна (т.е. имеет единственное решение) на
Функцию Наша задача и состояла в отыскании (построении) такой функции. Определение. Функцией Грина 1. при 2. при 3. при
(для уравнения порядка 4. при
(где Функцию Грина задачи (9), (10) на графе
где
Функцию
где
а
Найдем сначала функцию Грина задачи (15). Согласно определению функции Грина на отрезке, она должна удовлетворять однородному уравнению, поэтому найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения По левым частям краевых условий (15) построим функционалы: Так как функция Грина должна удовлетворять краевым условиям, то
Функцию Грина задачи (15) будем искать в виде:
где по равенствам (17) можно найти функция
Итак
И, следовательно,
Найдем теперь функцию Грина задачи (16). Найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения По левым частям краевых условий задачи (16) построим функционалы:
Функцию Грина задачи (16) будем искать в виде:
где Функция
Найдем
тогда
В силу построения функции Грина задачи (9), (10) было установлено, что
Рассмотрим теперь задачу
где в уравнении (8) в старшей производной стоит параметр Также как и раньше строим функционалы
Тогда задачу (1) – (7), (8’) можно записать в виде:
Функцию Грина задачи (9’), (10’) на графе
где
Функцию
где
а
Функция Грина задачи (15) была рассмотрена ранее.
Найдем функцию Грина задачи (16’)
Найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения По левым частям краевых условий задачи (16’) построим функционалы:
Функцию Грина задачи (16’) будем искать в виде:
где Функция
Найдем
тогда
Найдем из 12’
Учитывая (13’) и (14’), получаем
-
Рассмотрим краевую задачу:
По левым частям равенств (1) – (4) построим функционалы Тогда задачу (1) – (8) можно записать в виде:
Если задача (9), (10) невырожденна (т.е. имеет единственное решение) на
Функцию Функцию Грина задачи (7), (8) на графе
где
Функцию
где
а
Найдем сначала функцию Грина задачи (15).
Согласно определению функции Грина на отрезке, она должна удовлетворять однородному уравнению, поэтому найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения По левым частям краевых условий (16) построим функционалы: Так как функция Грина должна удовлетворять краевым условиям, то
Функцию Грина задачи (15) будем искать в виде:
где по равенствам (16) можно найти функция
Итак
И, следовательно, или
Найдем теперь функцию Грина задачи (16). Найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения По левым частям краевых условий задачи (16) построим функционалы:
Функцию Грина задачи (16) будем искать в виде:
где
Функция
Или
Найдем
Учитывая (13) и (14), имеем Тогда
ЛИТЕРАТУРА
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление Серия: «Курс высшей математики и математической физики» -3выпуск/Главная редакция физико-математической литературы. - М.:Наука,1969.-424с. 2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 1961. 3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. 4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений/ Под ред. И.Е. Морозова – М.:Наука, 1964.- 272с. 5. Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах/Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских. К.П. Лазарев, С.А. Шабров -М.: Физматлит, 2004.- 272с. 6. Белоглазова Т.В. О положительной обратимости разнопорядковых задач на графах/ кандидатская диссертация – Воронеж, 2003. – 128 с.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|