 |
О функции Грина разнопорядковой краевой задачи.
|
|
|
|
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”
Факультет математический
Кафедра функционального анализа
<Тема выпускной квалификационной работы>
ВКР <указать вид в соответствии с ГОC>
<Шифр, наименование направления подготовки / специальности>
<Наименование специализации>
Допущено к защите в ГАК
Зав. кафедрой < Подпись> <расшифровка> <ученая степень, звание> __.__.200__
Студент < Подпись> <расшифровка подписи>
Руководитель < Подпись> <расшифровка подписи> <ученая степень, звание>
Консультант < Подпись> <расшифровка подписи> <ученая степень, звание>
Воронеж200 9
О ФУНКЦИИ ГРИНА РАЗНОПОРЯДКОВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.
Для струнно-стержневой модели
 |
рассмотрим краевую задачу:
, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
, (5)
, (6)
на 
, (7)
на 
. (8)
По левым частям равенств (1) – (6) построим функционалы 
, а левым частям равенств (7), (8) – дифференциальный оператор 
.
Тогда задачу (1) – (8) можно записать в виде:
Если задача (9), (10) невырожденна (т.е. имеет единственное решение) на 
, то ее решение для функций 
таких, что 
, 
, и любой 
может быть представлено в виде
. (11)
Функцию 
, для которой (11) справедливо, назовем функцией Грина задачи (9), (10).
Наша задача и состояла в отыскании (построении) такой функции.
Определение. Функцией Грина на отрезке называют функцию двух переменных 
и 
, при каждом фиксированном из отрезка, обладающую свойствами:
1. при 
удовлетворяет по однородному дифференциальному уравнению;
2. при удовлетворяет по краевым условиям;
3. при 
непрерывна по , т.е.
|
|
|
,
(для уравнения порядка 
)
4. при 
имеет скачек, т.е.
,
(где 
- коэффициент при старшей производной дифференциального уравнения порядка ).
Функцию Грина задачи (9), (10) на графе 
можно построить по формуле:
(12’)
где 
- фундаментальная система решений однородного уравнения 
,
, (13)
Функцию 
можно построить по функциям Грина двухточечных задач (задач на отрезках) на 
и 
:
(14)
где 
- функция Грина двухточечной краевой задачи на отрезке 
:
на ,
, (15)
,
а 
- функция Грина двухточечной краевой задачи на 
:
на 
,
,
, (16)
,
.
Найдем сначала функцию Грина задачи (15).
Согласно определению функции Грина на отрезке, она должна удовлетворять однородному уравнению, поэтому найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения 
: 
, 
.
По левым частям краевых условий (15) построим функционалы: 
, 
.
Так как функция Грина должна удовлетворять краевым условиям, то
, 
, 
. (17)
Функцию Грина задачи (15) будем искать в виде:
,
где по равенствам (17) можно найти 
,
функция 
- какое-либо решение неоднородного уравнения задачи (15), которое может быть найдено, например, с помощью функции Коши:
.
Итак
И, следовательно,
Найдем теперь функцию Грина задачи (16).
Найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения 
: 
, 
.
По левым частям краевых условий задачи (16) построим функционалы:
,
,
,
.
Функцию Грина задачи (16) будем искать в виде:
,
где 
.
Функция 
- решение неоднородного уравнения задачи (16), которое найдем с помощью функции Коши:
.
Найдем
,
,
,
,
тогда
В силу построения функции Грина задачи (9), (10) было установлено, что 
, что эквивалентно условию невырожденности (единственности) задачи (9), (10).
Рассмотрим теперь задачу
, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
|
|
|
, (5)
, (6)
на , (7)
на . (8’)
где в уравнении (8) в старшей производной стоит параметр 
.
Также как и раньше строим функционалы , а левым частям равенства (7), (8’) – дифференциальный оператор:
Тогда задачу (1) – (7), (8’) можно записать в виде:
Функцию Грина задачи (9’), (10’) на графе можно построить по формуле:
(12’)
где - фундаментальная система решений однородного уравнения
,
(13’)
Функцию можно построить по функциям Грина двухточечных задач (задач на отрезках) на и :
(14')
где - функция Грина двухточечной краевой задачи на отрезке :
на ,
, (15)
,
а - функция Грина двухточечной краевой задачи на :
на ,
,
, (16’)
,
.
Функция Грина задачи (15) была рассмотрена ранее.
Найдем функцию Грина задачи (16’)
Найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения 
: 
, 
.
По левым частям краевых условий задачи (16’) построим функционалы:
,
,
,
.
Функцию Грина задачи (16’) будем искать в виде:
,
где 
.
Функция - решение неоднородного уравнения задачи (16’), которое найдем с помощью функции Коши:
Найдем
,
,
тогда
Найдем из 12’
Учитывая (13’) и (14’), получаем
-
- 
=
Рассмотрим краевую задачу:
, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
на , (5)
на . (6)
По левым частям равенств (1) – (4) построим функционалы 
, а левым частям равенств (5), (6) – дифференциальный оператор 
.
Тогда задачу (1) – (8) можно записать в виде:
Если задача (9), (10) невырожденна (т.е. имеет единственное решение) на , то ее решение для функций таких, что , может быть представлено в виде
. (9)
Функцию , для которой (9) справедливо, назовем функцией Грина задачи (7), (8).
Функцию Грина задачи (7), (8) на графе будем искать в виде:
(10)
где 
- фундаментальная система решений однородного уравнения ,
, (12)
(13)
Функцию можно построить по функциям Грина двухточечных задач (задач на отрезках) на и :
(14)
где - функция Грина двухточечной краевой задачи на отрезке :
на ,
, (15)
,
а - функция Грина двухточечной краевой задачи на :
на ,
,
. (16)
Найдем сначала функцию Грина задачи (15).
|
|
|
Согласно определению функции Грина на отрезке, она должна удовлетворять однородному уравнению, поэтому найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения : , .
По левым частям краевых условий (16) построим функционалы: , .
Так как функция Грина должна удовлетворять краевым условиям, то
,
, . (17)
Функцию Грина задачи (15) будем искать в виде:
,
где по равенствам (16) можно найти ,
функция - какое-либо решение неоднородного уравнения задачи (16), которое может быть найдено, например, с помощью функции Коши:
.
Итак
И, следовательно,
или
Найдем теперь функцию Грина задачи (16).
Найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения 
: , .
По левым частям краевых условий задачи (16) построим функционалы:
,
.
Функцию Грина задачи (16) будем искать в виде:
,
где 
.
Функция - решение неоднородного уравнения задачи (16), которое найдем с помощью функции Коши:
.
Или
.
Найдем
.
Учитывая (13) и (14), имеем
Тогда
ЛИТЕРАТУРА
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление Серия: «Курс высшей математики и математической физики» -3выпуск/Главная редакция физико-математической литературы. - М.:Наука,1969.-424с.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 1961.
3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969.
4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений/ Под ред. И.Е. Морозова – М.:Наука, 1964.- 272с.
5. Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах/Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских. К.П. Лазарев, С.А. Шабров -М.: Физматлит, 2004.- 272с.
6. Белоглазова Т.В. О положительной обратимости разнопорядковых задач на графах/ кандидатская диссертация – Воронеж, 2003. – 128 с.
|
|
|
