Закон больших чисел Чебышева.
ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем. В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.
Частный случай закона больших чисел Чебышева можно сформулировать так. Средняя арифметическая То есть, если число измерений достаточно велико, то с практической достоверностью можно утверждать, что каково бы ни было
Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е. иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А).
Оглавление. 1. Леммы Чебышева. 2. Закон больших чисел Чебышева. 3. Частный случай закона больших чисел Чебышева. 4. Закон больших чисел Бернулли.
1. Леммы Чебышева. В этом пункте докажем следующие две леммы, принадлежащие Чебышеву. Лемма 1. Пусть Доказательство: Для простоты докажем это утверждение для дискретной случайной величины
где суммирование распространено на все значения xi, большие или равные единице. Но для Поэтому
где xi<1. Эта сумма неотрицательна, так как все
Последняя сумма распространена на все значения xi, принимаемые случайной ветчиной Сопоставляя соотношения (50) и (51), имеем Тем самым лемма доказана. Лемма 2. Пусть
Неравенство (52) называется неравенством Чебышева. Доказательство: Рассмотрим сначала неравенство Случайная величина так как Поэтому
Так как событие, выражаемое неравенством Принимая во внимание соотношение (53), окончательно получим
Закон больших чисел Чебышева. Имеет место следующее утверждение. Пусть
Доказательство: Обозначим через и дисперсию (здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии). Применяя к случайной величине т.е. так как Учитывая, что вероятность любого события не превосходит единицы, получим
Переходя к пределу при Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем. В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|