 |
Числовые характеристики случайных величин.
|
|
|
|
Оглавление.
1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
3. Числовые характеристики некоторых случайных величин.
4. Линейные функции случайных величин.
В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.
1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:
- число подшипников с внешним диаметром 
,
- число подшипников с внешним диаметром 
,
....................................
- число подшипников с внешним диаметром 
.
Здесь 
. Найдем среднее арифметическое значение 
внешнего диаметра подшипника. Очевидно,
Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину 
, принимающую значения 
, c соответствующими вероятностями 
, 
,..., 
, так как вероятность 
появления подшипника с внешним диаметром xi равна mi /N. Таким образом, среднее арифметическое значение xср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения
Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей 
(такую таблицу для дискретной случайной величины мы уже приводили):
| Значения
| х1 | х2 | ... | хn |
Вероятности 
| p1 | p2 | ... | pn |
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е.
(4.1)
В случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x1, x2,..., xn,..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда 
, причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.
|
|
|
Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения 
называется число, определяемое равенством
(4.2)
При этом предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.2) существует.
Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.
1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.
Доказательство. Постоянную 
можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение 
c вероятностью равной единице. Поэтому 
.
2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. 
.
Доказательство. Используя соотношение (4.1), имеем
3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
(4.3)
4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:
(4.4)
Под суммой (произведением) двух случайных величин 
и 
понимают случайную величину 
, возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .
2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения 
случайной величины от ее математического ожидания.
|
|
|
Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и заданы следующими рядами распределения
Значения 
| -0,2 | -0,1 | 0,1 | 0,2 |
Вероятности 
| 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 |
| Значения
| -50 | -40 | ||
Вероятности 
| 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 |
Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю:
Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.
Дисперсией 
случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичеcкого ожидания:
(4.5)
Казалось бы, естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как
Здесь мы воспользовались тем, что 
постоянно, а математическое ожидание постоянной есть эта постоянная. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуль отклонения случайной величины от ее математического ожидания: 
. Однако, как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям. Поэтому приняли то, что приняли.
Выведем теперь другую формулу для расчета дисперсии.
Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения 
соответственно с вероятностями 
. Очевидно, что случайная величина 
принимает значения
с теми же вероятностями . Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем
(4.6)
Если же - непрерывная случайная величина с плотностью распределения , то по определению
(4.7)
Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем
Так как и 
- постоянные, то, используя свойства математического ожидания, получим
Следовательно,
Откуда окончательно находим
(4.8)
Рассмотрим теперь свойства дисперсии.
1°. Дисперсия постоянной равна нулю.
|
|
|
Доказательство. Пусть 
. По формуле (4.8) имеем
так как математическое ожидание постоянной есть эта постоянная:
2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
(4.9)
Доказательство. На основании соотношения (4.8), можно записать
Так как
и
то
3°. Если и - независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:
(4.10)
Доказательство. По формуле (4.8) имеем
Но
Так как и - независимые случайные величины, то
Следовательно
Далее,
поэтому
Таким образом
Следовательно
Замечание. Свойство 3° распространяется на любое конечное число попарно независимых случайных величин:
Средним квадратическим отклонением 
случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:
(4.11)
Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина .
Пример 4.1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение.
Решение: Используя формулы (4.1), (4.6) и (4.11) соответственно получим
|
|
|
