Числовые характеристики случайных величин.
Оглавление. 1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. 2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. 3. Числовые характеристики некоторых случайных величин. 4. Линейные функции случайных величин.
В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.
Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом: - число подшипников с внешним диаметром , - число подшипников с внешним диаметром , .................................... - число подшипников с внешним диаметром . Здесь . Найдем среднее арифметическое значение внешнего диаметра подшипника. Очевидно, Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения , c соответствующими вероятностями , ,..., , так как вероятность появления подшипника с внешним диаметром xi равна mi /N. Таким образом, среднее арифметическое значение xср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей (такую таблицу для дискретной случайной величины мы уже приводили):
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. (4.1) В случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x1, x2,..., xn,..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда , причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.
Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством (4.2) При этом предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.2) существует. Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин. 1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной. 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. . Доказательство. Используя соотношение (4.1), имеем
3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: (4.3) 4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: (4.4) Под суммой (произведением) двух случайных величин и понимают случайную величину , возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .
2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и заданы следующими рядами распределения
Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю: Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичеcкого ожидания: (4.5) Казалось бы, естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как Здесь мы воспользовались тем, что постоянно, а математическое ожидание постоянной есть эта постоянная. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуль отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Однако, как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям. Поэтому приняли то, что приняли. Выведем теперь другую формулу для расчета дисперсии. Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения соответственно с вероятностями . Очевидно, что случайная величина принимает значения с теми же вероятностями . Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем (4.6) Если же - непрерывная случайная величина с плотностью распределения , то по определению (4.7) Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем Так как и - постоянные, то, используя свойства математического ожидания, получим Следовательно, Откуда окончательно находим (4.8)
Рассмотрим теперь свойства дисперсии.
1°. Дисперсия постоянной равна нулю.
Доказательство. Пусть . По формуле (4.8) имеем так как математическое ожидание постоянной есть эта постоянная: 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: (4.9) Доказательство. На основании соотношения (4.8), можно записать Так как и то 3°. Если и - независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий: (4.10) Доказательство. По формуле (4.8) имеем Но Так как и - независимые случайные величины, то Следовательно Далее, поэтому Таким образом Следовательно Замечание. Свойство 3° распространяется на любое конечное число попарно независимых случайных величин:
(4.11) Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина .
Пример 4.1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение. Решение: Используя формулы (4.1), (4.6) и (4.11) соответственно получим
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|