Основные свойства определителей и их геометрический смысл.

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика - 1 семестр

Курс лекций

Учебное пособие

Для специальностей

Прикладная информатика в экономике»

Информатика и вычислительная техника»

Томск

ТУСУР

Настоящее электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ (профилирующая кафедра АСУ) группах 447-1,2 и 437-1,2,3 осенью 2017 года.

 

Оглавление по темам

Глава 1. МАТРИЦЫ. 5

§ 1. Действия над матрицами. 5

§ 2. Определители. 9

§ 3. Обратная матрица.

§ 4. Ранг матрицы.

§ 5. Элементы векторной алгебры.

Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ 1. Введение, основные методы решения.

§ 2. Неоднородные системы с произвольной матрицей.

§ 3. Системы линейных однородных уравнений.

Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

§ 1. Линейный оператор и его матрица

§ 2. Собственные векторы

§ 3. Квадратичные формы.

Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

§ 1. Прямая на плоскости

§ 2. Плоскость в пространстве

§ 3. Прямая в пространстве

§ 4. Кривые и поверхности

Глава 5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

§1. Множества и функции.

§2. Пределы.

§3. Бесконечно-малые и бесконечно-большие.

§4. Непрерывность.

Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

§1. Введение, основные методы.

2. Частные производные и градиент.

§3. Уравнение касательной, формула Тейлора.

§4. Экстремумы и строение графика.

§5. Основные теоремы дифф. исчисления

Оглавление по номерам лекций

 

Лекция № 1. 05.09.2017 5

Лекция № 2. 12.09.2017

Лекция № 3. 19.09.2017

Лекция № 4. 26.09.2017

Лекция № 5. 03.10.2017

Лекция № 6. 10.10.2017

Лекция № 7. 17.10.2017

Лекция № 8. 24.10.2017

Лекция № 9. 31.10.2017

Лекция № 10. 07.11.2017

Лекция № 11. 14.11.2017

Лекция № 12. 21.11.2017

Лекция № 13. 28.11.2017

Лекция № 14. 05.12.2017

Лекция № 15. 12.12.2017

Лекция № 16. 19.12.2017

Лекция № 17. 26.12.2017

ЛЕКЦИЯ № 1. 05.09.2017

Вводная часть. Размерность и свойства распространения различных типов волн. Цунами: по поверхности воды, энергия распределяется по окружности, убывает со скоростью . Сейсмические волны: энергия распределяется по сфере в 3-мерных породах, соответственно, убывает со скоростью . Цунами, при меньшей кинетической энергии, разрушительно на более далёких расстояних, так как убывание энергии медленнее из-за размерности.

Векторы в пространствах различной размерности. Объединение информации о нескольких векторах в прямоугольную таблицу, называемую матрицей. Важность роли матриц в геометрии.

Глава 1. МАТРИЦЫ.

Действия над матрицами.

Определение матрицы. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел (либо других объектов, например, функций), содержащая m строк и n столбцов.

Каждый элемент обозначается , где это номер строки, в которой он расположен, а - номер столбца.

! Обратите внимание: количество строк - это то же самое, что количество элементов в столбце, а количество столбцов равно количеству элементов в строке (заметим, что от каждого элемента 1-й строки начинается столбец, то есть сколько чисел в строке, столько и столбцов).

Если , то есть матрица А имеет размер то она называется квадратной матрицей порядка n.

 

 

Примеры матриц из жизни:

1. Таблица результатов ЕГЭ по нескольким предметам в группе учеников.

2. Таблица расстояний между каждой парой из n городов.

Кратчайшее расстояние между городами:

	Томск	Новосибирск	Кемерово
Томск
Новосибирск
Кемерово

По главной диагонали 0, потому что до этого же города расстояние равно 0.

3. Расписание занятий. День недели и номер пары, каждый элемент - номер аудитории в этот день в это время.

4. Шахматная доска, 64 элемента, квадратная матрица порядка 8.

О взаимосвязи матриц с системами векторов.

В плоскости 2 вектора, т.е. каждый имеет по 2 координаты, можно построить матрицу 2 порядка.

Матрица, соответствующая этой векторной системе .

Аналогично, если дано 3 вектора в пространстве - можно построить матрицу 3 порядка.

Сложение и вычитание матриц размера .

Эти операции определяются поэлементно, то есть суммируется или вычитается каждая соответствующая пара элементов и .

Пример: + = .

Умножение матрицы на константу определяется следующим образом. В матрице все элементы умножены на коэффициент , то есть равны .

Транспонирование матрицы. Это довольно простая операция, и она вводится так. Если все пары элементов и поменять местами, то получившаяся матрица называется транспонированной, она обозначается .

Умножение двух матриц.

* Надо вспомнить из школьного курса операцию скалярного произведения двух векторов:

Если даны две матрицы, одна размера , другая , то их размеры называются согласованными. Такие матрицы можно умножать друг на друга.

Операция умножения матриц определяется следующим образом. Мысленно разобьём первую матрицу на строки, вторую - на столбцы. Для каждой строки 1-й матрицы и каждого столлбца 2-й матрицы определено скалярное произведение. Всего существует всевозможных скалярных произведений строк (1-й матрицы) на столбцы (2-й матрицы). Именно из них и состоит произведение, это матрица размера

Примеры. = .

= .

Для матриц размеров и существуют оба произведения, и . Но произведение в примере выше оказалось бы не матрицей 2 порядка, а 3 порядка, то есть из 9 элементов.

 

Умножение квадратных матриц.

В этом случае размеры всегда согласованы, и произведение - это тоже матрица .

2 примера: = , =

обратите внимание, что даже для квадратных матриц далеко не всегда выполняется закон коммутативности, здесь .

Существует такая матрица, которая во множестве матриц обладает свойством, аналогичным 1 во множестве чисел, то есть . Но как мы видели только что, матрица из всех единиц этим свойством не обладает, а вот если единицы только по главной диагонали, а вокруг - нули, то такое свойство будет выполняться.

Единичная матрица Е. Строение: , при .

2-го порядка: , 3 порядка:

= и = .

(Аналог среди матриц первого порядка: число 1). Итак, .

 

Свойства действий над матрицами:

Коммутативность:

Свойства, связанные с ассоциативностью:

1.

2.

3.

Свойства, связанные с дистрибутивностью:

1. 2.

3. 4.

 

Определители.

Пусть дана матрица 2 порядка. .

Определителем квадратной матрицы порядка 2 называется такое число:

(произведение элементов главной диагонали, минус произведение элементов побочной диагонали).

Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, сторонами которого являются 2 вектора, координаты которых расположены по строкам (либо столбцам) матрицы.

Если бы мы просто вычисляли площадь параллелограмма, построенного на векторах (2,1) и (1,2), где ни один вектор не расположен вдоль координатной оси, то понадобилось бы найти длину основания, затем высоту. А с помощью определителя, S вычисляется гораздо короче.

Примеры. .

поменяем местами строки, изменится знак:

.

Заметим, что при введении определителя, умножаемые элементы всегда расположены так, что 2 из них не находятся в одной строке или в одном столбце. Кстати, кроме главной и побочной диагонали, в матрице порядка 2 таких наборов элементов больше нет.

 

Если расположить первые n натуральных чисел 1,2,3,..., n в некотором порядке, возможно, не по возрастанию, а перепутать каким-то образом, то они образуют так называемую перестановку из n чисел. Каждый набор элементов, которые мы перемножаем в определителе 2 порядка, можно задать с помощью перестановки: главная диагональ (12) побочная диагональ (21). Большой прямоугольник в 1 строке, выбираем из 1 столбца, а когда он спустился во 2 строку, там из 2 столбца. Как на схеме:

таким путём мы как раз и получаем главную диагональ с помощью перестановки (12).

Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. В перестановке (12) инверсий нет, количество инферсий 0, то есть чётно. В перестановке (21) одна инверсия (то есть, их количество нечётно). Число , где k - число инверсий, определяет знак соответствующего произведения, участвующего в построении определителя

Лемма. Существует n! перестановок порядка n.

Доказательство. Для n = 2 это очевидно, перестановки только (12) и (21).

Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается что как раз равно n!, что и требовалось доказать.

 

В частности, при n = 3 получается 6 перестановок:

(123) (132) (213) (231) (312) (321)

На первом месте одно из 3 чисел, и при этом оставшиеся 2 числа можно расставить на 2 места двумя способами. Получается 6 способов. Заметим, что 3! = 6.

 

Определитель 3 порядка. Примеры, методы вычисления.

= .

В записи определителя 3 порядка =

каждому элементу соответствует перестановка из 3 чисел.

Представьте себе прямоугольник, который сначала в 1-й строке, а затем спускается ко 2-й и 3-й, внутри него вправо и влево может двигаться квадрат, указывающий на какой-то из элементов. Запишем, в каком № столбца взяли элемент, когда находились в 1-й строке, затем так же во 2-й и 3-й. Например, для получится (231):

для соответствует (123) и т.д. напишем под каждым элементом свою перестановку:

(123) (231) (312) (321) (132) (213)

Видим, что при этом учтены все возможные перестановки, количество которых 3! = 6. Рассмотрим подробнее, как знак определяется по перестановкам. Обозначим дугой каждую инверсию:

Если инверсий нечётное количество (1 или 3), то знак «-», если чётное (0 или 2) то «+». То есть, умножаем на , где k - число инверсий. Знак каждого произведения зависит от чётности или нечётности перестановки.

Все рассмотренные наборы элементов, которые перемножаются между собой, обладают тем свойством, что никакие 2 из них не находятся в одной и той же строке либо одном и том же столбце. Таких наборов всего 6, и они все учтены. А для матрицы порядка 2 таких наборов всего 2, поэтому там определитель состоит всего из 2 слагаемых. Почему же они не могут быть в одной строке или столбце? Ответ простой: ведь перестановка состоит из разных чисел, то есть там нет одинаковых на двух местах, поэтому из одного и того же столбца 2 раза мы не выберем. Из одной строки тем более: находясь в некоторой строке, мы выбираем элемент только 1 раз.

Для матрицы 4 порядка потребуется найти все четвёрки элементов, так чтобы никакие два не оказывались в одной строке или одном столбце. Их будет 24 = 1*2*3*4 = 4!

 

Запомнить метод вычисления определителей 3 порядка легче всего с помощью произведений по 3 параллельным линиям.

Надо дописать копии 1 и 2 столбца справа, и соединить по 3 параллельных линии: главная диагональ и параллельные ей (показаны зелёным цветом), затем побочная диагональ и параллельные ей (показаны красным). Умножить тройки чисел по 3 зелёным линиям, и взять их со знаком «+» а по красным прибавить со знаком «—». (Кстати, вместо столбцов справа можно дописать две строки снизу, и получится то же самое).

Примечание. Можно запомнить и с помощью треугольников, например, соответствует

Это один из двух треугольников, для которого главная диагональ - это средняя линия. Второй такой треугльник это .

Пример. = 1*2*4 + 1*3*0 + 2*0*1 — 0*2*2 — 1*3*1 — 4*0*1 = 8 — 3 = 5.

Основные свойства определителей и их геометрический смысл.

Свойство 1)

При транспонировании определитель не меняется: = .

 

Свойство 2) Если строка или столбец матрицы состоит из нулей, то .

Геометрический смысл: Если в системе векторов есть 0 - вектор, то объём параллелепипеда равен 0.

 

Свойство 3) Если поменять местами любые две строки (или два столбца), то сменит знак.

Это связано с тем, что при смене мест 2 элементов в перестановке меняется чётность: одна инверсия появится или наоборот, исчезнет.

 

Свойство 4) Если матрица содержит две одинаковых (или пропорциональных) строки или столбца, то .

Доказывается из предыдущего свойства: если в матрице две одинаковые строки, то меняя их местами, мы изменим знак, но они же одинаковы, поэтому не должен измениться. Тогда = , то есть . Для пропорциональных то же самое, так как можем сначала вынести коэффициент за знак определителя, и строки станут одинаковыми, а тогда .

Геометрический смысл. Если два ребра параллелепипеда коллинеарны, то фигура станет плоской, объём = 0.

 

 

Литература.

 

1. Л.И.Магазинников, А.Л. Магазинникова.

Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебное пособие http://edu.tusur.ru/publications/2244

 

2. Л.И.Магазинников, А.Л.Магазинников.

Дифференциальное исчисление. Учебное пособие http://edu.tusur.ru/publications/2246

 

3. Магазинников Л.И. Высшая математика I. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии: Учебное пособие Томск: ТУСУР, 2007. - 162 с.

 

Все учебные пособия кафедры математики можно найти на сайте кафедры по ссылке: http://math.tusur.ru/book.html

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: