Математическая постановка задачи моделирования потребительского спроса.
Лабораторная работа № 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО СПРОСА
Будем считать, что потребитель располагает доходом M, который он полностью тратит на потребление благ (продуктов). Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенное количество благ. Математическая модель такого его поведения называется моделью потребительского выбора. Рассмотрим потребительские наборы из двух благ - вектор (x1,x2), координата x1 которого равна количеству единиц первого блага, а координата x2 равна количеству единиц второго блага. Такая модель удобна, прежде всего, возможностью графической интерпретации, сохраняя при этом все принципиальные свойства общей модели. Выбор потребителя (индивидуума) характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем. Ha множестве потребительских наборов (x1,x2) определенна функция u(x1,x2) (называемая функцией полезности потребителя), значение u(x1,x2) которой при потребительском наборе (x1,x2) равно потребительской оценке индивидуума для этого набора. Потребительскую оценку u(x1,x2) набора (x1,x2) принято называть уровнем (или степенью) удовлетворения потребностей индивидуума, если он приобретает или потребляет данный набор (x1,x2). Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности. Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам: 1) Первые частные производные называются предельными полезностями соответствующего блага. 2) Отражают закон убывания предельной полезности. Линия, соединяющая потребительские наборы (x1,x2), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличий называется картой линий безразличия. На рис. 1 показан фрагмент карты линий безразличия. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Если линия безразличия l t3 расположена выше. и правее ("северо-восточнее") линии безразличия то t3>t2. Верно и обратное. Иными словами, чем "северо-восточнее" расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребности она соответствует.
Рис. 1. Карта линий безразличий
Задачи потребительского выбора (Задачарационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора (x10,x20), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать дохода, т.е. p1x1+p2x2
Математическая постановка задачи моделирования потребительского спроса. 1.1. Задача максимизации функции полезности при заданном бюджетном ограничении. Формально задача потребительского выбора имеет вид:
u(x1, x2) при условиях p1x1+p2x2£ M x1³0, x2³0.
Допустимое множество (т.е. множество наборов благ, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии все более высокого уровня полезности (вправо – вверх) до тех пор, пока эти линии еще имеют общие точки с допустимым множеством.
Набор (x Остановимся на свойствах задачи. Во-первых, решение задачи (x Во-вторых, решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и тоже число раз l. Это равнозначно умножению на положительное число l обеих частей бюджетного ограничения p1x1+p2x2£ М, что дает неравенство, эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доход M не входят в функцию полезности, задача остается той же, что и первоначально. В приведенной постановке задача потребительского выбора является задачей нелинейного программирования. Однако если на каком-то потребительском наборе (x1, x2), бюджетное ограничение p1x1+p2x2£ M будет выполняться в виде строгого неравенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор (x Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум функции u(x1, x2)
u(x1, x2) при условии p1x1+p2x2 = M.
Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа. Выписываем функцию Лагранжа
Находим ее первые частные производные по переменным x1, x2 и l приравниваем эти частные производные к нулю:
Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными неизвестную l, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x1 и x2
p1x1+p2x2 = M. Решение (x
получим, что в точке (x
В связи с тем, что отношение Геометрически решение (x
Рис. 2. Линии уровня
Координаты x
. Эти функции называются функциями потребительского спроса по Маршаллу. В общем случае для набора состоящего из n благ, количество блага зависит от цен благ
Когда все факторы, определяющие объем спроса на благо, кроме его цены, постоянны, функция спроса принимает частный вид функции спроса по цене: Предположим, что функция полезности имеет вид
где Так как
Отсюда
откуда
Тогда функция спроса на
В частном случае, когда
и для функции спроса на
1.2 Задача минимизации расходов при фиксированном уровне полезности.
Пусть задан определенный уровень полезности
p1x1+p2x2 = M( u(x1, x2)=
Решим задачу минимизации методом Лагранжа.
Решив полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными, найдем значения
называют функциями спроса по Хиксу (функциями компенсированного спроса).Подставляя функции спроса по Хиксу в целевую функцию p1x1+p2x2 = M(
Задания к лабораторной работе: Задание №1 Функция полезности,имеет вид p1x1+p2x2 = M. (14) Исходные данные для различных вариантов приведены в таблице 1
Таблица 1
а) Найдите функции спроса по Маршаллу
для заданной функции полезности. б) Найдите оптимальный набор благ для заданного бюджетного ограничения, т.е. значения в) Найдите уровень полезности U, соответствующий найденному оптимальному набору благ
г) Найдите функцию спроса по цене
Найдите функции спроса по доходу
Задание №2 Используем функцию полезности и исходные данных из задания № 1. Пусть цена первого блага а) Найдите оптимальный набор благ б) Постройте в одной системе координат изокванту (кривую безразличия) функции полезности
в) Чтобы сохранить прежний уровень полезности при возросшей цене блага потребитель должен получить компенсирующую надбавку
г) Исследуйте изменение потребительского спроса в случае если доход потребителя возрастет до величины г) Постройте в одной системе координат: 1) изокванту 2) бюджетную линию p1x1+p2x2 = M 3) бюджетную линию 4)изокванту 5) бюджетную линию 6) изокванту 7) бюджетную линию p1x1+p2x2 = Объясните расположение линий и взаимосвязь значений наборов благ Задание №3 Функция полезности,имеет вид
Таблица 2 а) Найдите методом Лагранжа по формулам (11) потребительский набор б) Найдите минимальный расход
в) Напишите уравнение функции минимального расхода (13) и постройте график зависимости минимального расхода от цены
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|