Доказательство закона больших чисел

Проведем это доказательство в два этапа. Сначала предположим, что  существует, и заметим, что в этом случае D(S„)  по теореме о дисперсии суммы. Согласно неравенству Чебышева, при любом t > 0

 

                                                                   (2.1)

 

При t > n левая часть меньше, чем , а последняя величина стремится к нулю. Это завершает первую часть доказательства.

Отбросим теперь ограничительное условие существования D(). Этот случай сводится к предшествующему методом усечения.

Определим два новых набора случайных величин, зависящих от , следующим образом:

 

U_k= , V_k=0, если                                                         (2.2)

U_k=0, V_k= , если

 

Здесь k=1,…, п и  фиксировано. Тогда

 

=U_k+V_k                                                                                 (2.3)

 

при всех k.

Пусть {f( _j)} — распределение вероятностей случайных величин  (одинаковое для всех _j). Мы предположили, что  = M() существует, так что сумма

 

                                                                       (2.4)

 

конечна. Тогда существует и

 

                                         (2.5)

 

где суммирование производится по всем тем j, при которых . Отметим, что хотя  и зависит от п, но оно одинаково для

U₁, U_2,..., U_n. Кроме того, при , и, следовательно, для произвольного > 0 и всех достаточно больших n

 

.      (2.6)

 

Далее, из (2.5) и (2,4) следует, что

 

(2.7)

 

U_k взаимно независимы, и с их суммой U₁+U₂+…+U_n можно поступить точно так же, как и с X_k в случае конечной дисперсии, применив неравенство Чебышева, мы получим аналогично (2.1)

(2.8)

 

Вследствие (2.6) отсюда вытекает, что

 

(2.9)

 

Далее заметим, что с большой вероятностью V_k = 0. Действительно,

 

 (2.10)

 

Поскольку ряд (2.4) сходится, последняя сумма стремится к нулю при возрастании n. Таким образом, при достаточно большом п

 

P{V_k 0}                                                                          (2.11)

 

и следовательно

 

P{V₁+…+V_n 0} .                                                            (2.12)

 

Но , и из (2.9) и (2.12) получаем

 

 (2.13)

 

Так как  и  произвольны, правая часть может быть сделана сколь угодно малой, что и завершает доказательство.

Теория «безобидных» игр

 

При дальнейшем анализе сущности закона больших чисел будем пользоваться традиционной терминологией игроков, хотя наши рассмотрения допускают в равной степени и более серьезные приложения, а два наших основных предположения более реальны в статистике и физике, чем в азартных играх. Во-первых, предположим, что игрок обладает неограниченным капиталом, так что никакой проигрыш не может вызвать окончания игры. (Отбрасывание этого предположения приводит к задаче о разорении игрока, которая всегда интригует изучающих теорию вероятностей.) Во-вторых, предположим, что игрок не имеет нрава прервать игру, когда ему заблагорассудится: число п испытаний должно быть фиксировано заранее и не должно зависеть от хода игры. Иначе игрок, осчастливленный неограниченным капиталом, дождался бы серии удач и в подходящий момент прекратил бы игру. Такого игрока интересует не вероятное колебание в заданный момент, а максимальные колебания в длинной серии партий, которые описываются скорее законом повторного логарифма, чем законом больших чисел.

Введем случайную величину _k как (положительный или отрицательный) выигрыш при k-м повторении игры. Тогда сумма S_n = ₁+…+ _k является суммарным выигрышем при п повторениях игры. Если перед каждым повторением игрок уплачивает за право участия в игре (не обязательно положительный) взнос , то п  представляет собой общий уплаченный им взнос, a S_n — п  общий чистый выигрыш. Закон больших чисел применим, если p=M( _k) существует. Грубо говоря, при больших п весьма правдоподобно, что разность S_п — п окажется малой по сравнению с п. Следовательно, если  меньше, чем р, то при больших п игрок будет, вероятно, иметь выигрыш порядка . По тем же соображениям взнос  практически наверняка приводит к убытку. Короче, случай  благоприятен для игрока, а случай   неблагоприятен.

Заметим, что мы еще ничего не говорили о случае . В этом случае единственно возможным заключением является то, что при достаточно большом и общий выигрыш или проигрыш S_n — п  будет с очень большой вероятностью малым по сравнению с п. Но при этом неизвестно, окажется ли S_n — п  положительным или отрицательным, т. е. будет ли игра выгодной или разорительной. Это не было учтено классической теорией, которая называла безобидной ценой, а игру с  «безобидной». Нужно понимать, что «безобидная» игра может на самом деле быть и явно выгодной и разорительной.

Ясно, что в «нормальном случае» существует не только M( _k), но и D( _k). В этом случае закон больших чисел дополняется центральной предельной теоремой, а последняя говорит о том, что весьма правдоподобно, что при «безобидной» игре чистый выигрыш в результате продолжительной игры S_n — п  будет иметь величину порядка n^1/2 и что при достаточно больших п этот выигрыш будет с примерно равными шансами положительным или отрицательным. Таким образом, если применима центральная предельная теорема, то термин «безобидная» игра оказывается оправданным, хотя даже и в этом случае мы имеем дело с предельной теоремой, что подчеркивается словами «в результате продолжительной игры». Тщательный анализ показывает, что сходимость в (1.3) ухудшается при возрастании дисперсии. Если  велико, то нормальное приближение окажется эффективным только при чрезвычайно больших п.

Для определенности представим машину, при опускании в которую рубля игрок может с вероятностью 10 выиграть (10—1) рублей, а в остальных случаях теряет опущенный рубль. Здесь мы имеем испытания Бернулли и игра является «безобидной». Проделав миллион испытаний, игрок уплатит за это миллион рублей. За это время он может выиграть 0, 1,2,... раз. Согласно приближению Пуассона для биномиального распределения, с точностью до нескольких десятичных знаков вероятность выиграть ровно к раз равна e^-1/k!. Таким образом, с вероятностью 0,368... игрок потеряет миллион, и с той же вероятностью он только окупит свои расходы; он имеет вероятность 0,184... приобрести ровно один миллион и т. д. Здесь 10⁶ испытаний эквивалентны одному-единствеиному испытанию при игре с выигрышем, имеющим распределение Пуассона.

Очевидно, бессмысленно применять закон больших чисел в такого рода ситуациях. К этой схеме относится страхование от пожара, автомобильных катастроф и т. п. Риску подвергается большая сумма, но зато соответствующая вероятность очень мала. Однако здесь происходит обычно только одно испытание в год, так что число п испытаний никогда не становится большим. Для застрахованного игра обязательно не является «безобидной», хотя, может быть, экономически вполне выгодной. Закон больших чисел здесь не при чем. Что касается страховой компании, то она имеет дело с большим числом игр, но из-за большой дисперсии все же проявляются случайные колебания. Размер страховых премий должен быть установлен таким, чтобы предотвратить большой убыток в отдельные годы, и, следовательно, компанию интересует скорее задача о разорении, чем закон больших чисел.

Когда дисперсия бесконечна, термин «безобидная» игра становится бессмысленным; нет никаких оснований считать, что общий чистый выигрыш S_n — п  колеблется около нуля. Действительно. существуют примеры «безобидных» игр, в которых вероятность того, что в результате игрок потерпит чистый убыток, стремится к единице. Закон больших чисел утверждает только, что этот убыток будет величиной меньшего порядка, чем п. Однако ничего большего утверждать и нельзя. Если а_п образуют произвольную последовательность, причем а_п/n 0 то можно устроить «безобидную» игру, в которой вероятность того, что общий чистый убыток в результате п повторений игры превышаем a_n стремится к единице.

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: