 |
Задачи на единицы и системы измерения величин.
|
|
|
|
Задачи только на действия с рациональными числами.
Это обычнейшие текстовые задачи, привычные для школьника средних классов.
Задача 1
Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Маша купила 1 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 500 рублей? (Ответ: 404)
Задача 2.
Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути? (Ответ: 13)
Округление ответа.
В связи со спецификой проверки Вашей экзаменационной работы ответы на задания "с кратким ответом" должны быть целыми числами или конечными десятичными дробями. Поэтому во всех заданиях этой группы могут встретиться задачи, в которых нужно округлить полученный результат. Т.е. округление необходимо не по смыслу задачи (эти мы рассмотрим позднее), а по форме ответа. В таких случаях требование округлить число до заданной значащей цифры есть непосредственно в условии задачи.
По этому поводу вы изучали следующее правило:
При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая оставшаяся за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.
Пример.
Округлить число α = 2471,05624 с точностью
а) до тысяч α ≈ 2000; б) до сотен α ≈ 2500; в) до десятков α ≈ 2470; г) до единиц α ≈ 2471;
д) до десятых α ≈ 2471,1; е) до сотых α ≈ 2471,06; ж) до тысячных α ≈ 2471,056.
Обратите внимание: если указания округлить ответ в тексте условия не было, если задача не требовала округления по своему смыслу, а Вы получили ответ в виде бесконечной десятичной дроби или иррационального числа, то нужно искать ошибку.
|
|
|
Задача 3
Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа.(Ответ: 105)
Задачи на наибольшее/наименьшее с целыми ответами.
Среди текстовых задач можно выделить такие, в условии которых содержится требование определить наибольшее или наименьшее целое значение. Они решаются как обычные, затем ответ округляется до целого в большую или в меньшую сторону.
Внимание: не по правилам округления! а по смыслу условия задачи.
Задача 4
Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей? (Ответ: 8)
Задача 5
В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели? (Ответ: 10)
Чуть более сложный случай, когда в явном виде не сказано, что требуется указать в ответе - наибольшее или наименьшее значение. Об этом нужно догадаться по смыслу задачи.
Задача 6
В летнем лагере 218 детей и 26 воспитателей. В автобус помещается не более 45 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город? (Ответ: 6)
Задача 7
Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье? (Ответ: 7)
Выше для решения задач использовалось округление до меньшего или большего целого. Часто более красивое и понятное решение получается с использованием не округления, а понятия деления с остатком. Правда, ученики, привыкшие к калькулятору, не очень умело им владеют.
|
|
|
Задача 8
В доме, в котором живет Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живет в квартире 50. На каком этаже живет Петя? (Ответ: 9)
Задача 9
В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 3 курсов, по 360 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 9 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками? (Ответ: 4)
Применение пропорций.
Пропорцию вы изучали на уроках математики в пятом-шестом классах. Многие уже подзабыли её основное свойство, хотя само понятие пропорциональности уже прочно вошло в сознание благодаря урокам физики, химии, процентам...
Пусть a, b, c, d – действительные числа, неравные нулю, и пусть верно равенство a: b = c: d. Это равенство называют пропорцией, числа a и d - крайними членами, числа b и c - средними членами пропорции.
Основное свойство - произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов: a·d = b·c.
Кроме того, крайние члены пропорции можно поменять местами, т.е. если a: b = c: d, то d: b = c: a, и средние члены пропорции можно поменять местами, т.е. если a: b = c: d, то a: c = b: d
Впрочем пропорцию можно записать и в виде равенства двух дробей a/b = c/d .
Главное, что следует помнить при составлении пропорций для решения текстовых задач, в обеих частях равенства должны получаться одинаковые отношения единиц измерения величин. А еще лучше, если пропорция будет составлена так, что единицы измерения сократятся.
Задача 10
Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 36 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.) (Ответ: 22,5)
Задача 11
Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина — 20 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц? (Ответ: 10800)
Задачи с округлением.
Следует различать случаи, когда округление ответа необходимо выполнить по правилам округления, а когда этого требует смысл задачи. Сраните следующие две задачи.
|
|
|
Задача 12
В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа. (Ответ: 44)
Задача 13
Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения? (Ответ: 7)
Задачи на проценты.
Процент ом (per cent - на сто) называется сотая часть числа: 1% = 0,01.
Значит 3% это 3 сотых части числа, а 40%, соответственно, сорок сотых.
Поэтому решать задачи на проценты легче всего умножением на соответствующие десятичные дроби.
Например: 5% = 0,05; 50% = 0,50 = 0,5; 100% = 1,00 = 1; 125% = 1,25; 730% = 7,30 = 7,3;...
1) Найдём 23% от числа 777.
23% = 0,23; 777·0,23 = 178,71. Ответ: 178,71
2) Найдём число, 135% от которого составляет 702.
135% = 1,35; искомое число = x; x ·1,35 = 702; x = 702/1,35 = 520. Ответ: 520
3) Определим, какой процент от числа 600 составляет число 150.
x % = x /100; 600·(x /100) = 150; x = (150/600)·100 = 0,25·100 = 25. Ответ: 25%.
Также бывает удобно записать в явном виде, что принимаем за 100% и решать задачу пропорцией. Сделаем это для предыдущих 3-ёх примеров.
1) х – 23%; 777 – 100%;
х: 23 = 777: 100; х = 777×23/100 = 777×0,23 = 178,71.
2) 702 – 135%; х – 100%;
702: 135 = х: 100; х = 702×100/135 = 702/1,35 = 520.
3)150 – х %; 600 – 100%;
150: х = 600: 100; х = (150/600)×100 = 0,25×100 = 25(%).
Другими словами, всё как обычно: часть от числа находится умножением на дробь, число по его части, в конечном итоге, находится делением. Главное - разобраться к какому числу относится процент. Для этого нужно очень внимательно читать текст условия задачи, обращать внимание на все предлоги, особенно на предлоги "от", "из", "среди" и другие ключевые слова-подсказки. Здесь эти слова выделены. Постарайтесь уловить связь между ними и решением задачи.
Задача 14
Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили первую задачу. Сколько человек правильно решили первую задачу? (Ответ: 25850)
Задача 15
В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе? (Ответ: 496)
|
|
|
Задача 16
Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров? (Ответ: 5)
Задачи 14,15,16 относятся к самому простому виду задач на проценты. Они решаются в одно действие так же, как предыдущие числовые примеры. Но таких задач немного. Чаще встречается ситуация, когда кроме процентов нужно провести еще дополнительные вычисления.
Задача 17
Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу? (Ответ: 6840)
Задача 18
Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки? (Ответ: 1296)
Следующие задачи могут показаться более сложными, потому что в них "вложенные" проценты, т.е. требуется определить "часть части". Пусть вас это не смущает, просто решайте последовательно, по действиям. Делая каждое действие, внимательно смотрите к какой величине относится процент.
Задача 19
В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает? (Ответ: 93500)
Задача 20
В школе 800 учеников, из них 30% - ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается? (Ответ: 112)
В заданиях ЕГЭ немало задач на изменение величины, данное в процентах. Их легко отличить по фразам типа "увеличилось на... процентов" или "уменьшилось на... процентов".
Советую запомнить как правило: "Если в условии не оговорено ничего другого, то всегда считаем, что перед изменением величина составляла 100% ". Если она увеличилась, то, проценты складываем, если уменьшилась - проценты вычитаем.
Задача 21
Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены? (Ответ: 3000)
Задача 22
Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку? (Ответ: 15)
Задача 23
Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 10000 рублей? (Ответ: 66)
|
|
|
В следующей задаче обратите внимание на выделенный предлог "под". Он напрямую не указывает на увеличение или на уменьшение числа на несколько процентов. Взять кредит под процент и сделать вклад под процент - это разные вещи. В первом случае банк берет с клиента некоторую дополнительную сумму, во втором - выплачивает вкладчику. В подобных задачах нужно внимательно прочитать всё условие, чтобы вникнуть в предлагаемые обстоятельства.
Задача 24
Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно? (Ответ: 1160)
Задача 25
В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре? (Ответ: 90)
Если вы поняли решение последней задачи, то попробуйте ответить на такой вопрос:
За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он или поправился за год?
Прямые и обратные задачи.
Основная трудность при решении текстовых задач, особенно, задач на проценты, не в математике, а в неумении многих школьников вдумчиво читать текст. А ведь в банке заданий много задач очень похожих по тексту, но противоположных по смыслу, так называемых, прямых и обратных. Прямые задачи школьники обычно решают лучше. Обратные часто решают через x. В этом случае они становятся похожими на прямые. Но вовсе не обязательно решать все обратные задачи введением x, непосредственным рассуждением получается короче. В любом случае нужно: Внимательно читать условие! Никогда не пытаться вспомнить решение, если кажется, что такую задачу уже решали. Всегда решать заново!
Задача 26
Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы? (Ответ: 10875)
Задача 27
Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны? (Ответ: 11000)
Задача 28
На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров бензина по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить у кассира? (Ответ: 202)
Задача 29
На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. Сдачи клиент получил 1 руб. 60 коп. Сколько литров бензина было залито в бак? (Ответ: 32)
Задачи смешанные.
Эти задачи содержат в себе элементы предыдущих типов, а значит решаются, как минимум, в два действия. Однако, это не делает их намного сложнее с вычислительной точки зрения. Просто переформулируйте вопрос задачи так, чтобы на него можно было дать два или несколько последовательных ответов.
Задача 30
Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%? (Ответ: 8)
Задача 31
При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала? (Ответ: 320)
Задача 32
Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов? (Ответ: 9)
Задача 33
Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,6 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размерами 2,3 м на 4,1 м? (Ответ: 8)
Задачи на единицы и системы измерения величин.
На уроках математики, физики, химии и других вас знакомят с наиболее распространенной во всем мире системой единиц измерения физических величин - СИ. Это современный вариант метрической системы широко используемый как в повседневной жизни, так и в науке и технике. Однако во многих странах также используются традиционные, исторически привычные, единицы измерения. Например, вы явно слышали о двигателях в десятки лошадиных сил, о расстоянии в сотни морских миль, о косой сажени в плечах,... Умение свободно переходить от одной системы единиц измерения к другой особенно актуально во время путешествий, при чтении технической, научной, исторической и художественной литературы. Конечно, для мало распространенных единиц трудно и не нужно запоминать коэффициенты перехода, их всегда можно посмотреть в справочнике, но уметь правильно использовать такие коэффициенты необходимо всегда.
Задачи на переход от одних единиц измерения к другим часто удобно решать пропорцией.
Задача 34
Система навигации, встроенная в спинку самолетного кресла, информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 37000 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см. (Ответ: 11285)
Задача 35
В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять 1/10 фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 3 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг. (Ответ: 12)
Современные школьники плохо относятся к обыкновенным дробям, предпочитая им десятичные. Таково влияние привычки пользоваться калькулятором в промежуточных расчетах. Не забывайте, что обыкновенной дробью всегда можно записать точное значение, а бесконечную десятичную дробь придется округлять. Несколько промежуточных округлений могут испортить итоговый ответ.
В качестве тренировки повторите решение предыдущей задачи с другими данными.
Задача 36
В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 6 человек следует взять 3/14 фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 7 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг. (Ответ: 100)
Задача 37
Рост Джона 6 футов 1 дюйм. Выразите рост Джона в сантиметрах, если в 1 футе 12 дюймов, а в 1 дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров. (Ответ: 185)
|
|
|
