Линейные пространства (повторение основных положений линейных пространств).
Занятие 0 (Фдз 1). 0.1. Повторение основных понятий и терминов, связанных с линейными пространствами (линейная зависимость, независимость системы векторов; базис и размерность линейного пространства; разложение вектора по базису; линейная оболочка системы векторов).
0.1. Вспомним основные определения, связанные с линейными пространствами. Пусть - набор элементов (система векторов) из линейного пространства . 1) Система - линейно независимая система, если их линейная комбинация равна нулевому элементу только при тривиальном наборе чисел: . Если же существует нетривиальный набор чисел , для которого , то система является линейно зависимой. 2) Если система является максимальной линейно независимой системой в линейном пространстве (т.е. присоединение к ней любого вектора приводит к тому, что система становится линейно зависимой), то система называется базисом пространства . В этом случае любой вектор можно единственным образом представить линейной комбинацией на векторах базиса, т.е. . (1) Это равенство называется разложением вектора по базису , а набор чисел - координатами вектора в базисе . 3) Число векторов в любом базисе линейного пространства всегда одно и то же и называется размерностью пространства . 4) Система называется полной системой в линейном пространстве , если любой вектор можно разложить по векторам по векторам , т.е. . Полная система может быть линейно зависимой системой. Если же полная система является еще и линейно независимой, то такая система – базис пространства (второе определение базиса). 5) Множество всех векторов называется линейной оболочкой на векторах . Линейная оболочка является линейным подпространством в пространстве или совпадает с линейным пространством .
Перейдем к примерам. Рассмотрим систему из линейного пространства . Пример 1. Показать, что система линейно зависима. Решение. . . (2) Полученную линейную систему уравнений для неизвестных величин решим методом Гаусса, используя матрицу системы. Здесь проведены следующие действия. 1) В матрице ко 2-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на 3, и из 3-й строки вычтена 1-я строка. В результате получена матрица . 2) В матрице поменяли местами 2-й и 4-й столбцы, т.е. переставили местами неизвестные и . В результате получили матрицу . 3) В матрице из 3-й строки вычли 2-ю строку, умноженную на (-2). В результате получили матрицу треугольного вида, которая приводит к следующей системе: . В этой системе (эквивалентной исходной системе (2)) - свободная неизвестная, а - базисные неизвестные. Положим , где - произвольное число. Из третьего, второго и первого уравнений системы последовательно находим: , , . Таким образом, общее решение системы (2) представимо в виде: , где . Отсюда сразу же выводится существование нетривиальных решений системы. Например, при получаем . Следовательно, . Это доказывает линейную зависимость данной системы векторов .
Пример 2. Показать, что система - полная система в пространстве . Решение. (3) В этой системе неизвестными являются , а - произвольные заданные числа. Решим систему (3) методом Гаусса, используя расширенную матрицу системы. Преобразования над матрицей полностью совпадают с преобразованиями матрицы из примера 1, проведенными при доказательстве линейной зависимости системы . (4) В полученной системе является свободной неизвестной, а - базисными неизвестными. Положим , где - произвольное число. Из третьего, второго и первого уравнений системы (4) последовательно находим
, , . Таким образом, установлено, что любой вектор может быть представлен в виде , т.е. разложен по системе векторов . Значения коэффициентов разложения таковы: , где . (5) Следовательно, система - полная в пространстве . Заметим еще, что значения зависят не только от координат вектора , но и от параметра , который показывает, что существует бесконечно много различных разложений вектора по заданной системе . Проведенное решение доказывает также, что линейная оболочка на векторах совпадает со всем линейным пространством .
Пример 3. Выделить из системы подсистемы векторов, которые служат базисами пространства . Решение. Так как система векторов представляет стандартный базис пространства , то сразу можно сказать, что размерность пространства равна трем , и любой базис этого пространства состоит из трех линейно независимых векторов. Возьмем три первых вектора . Исследуем их линейную зависимость (независимость). . Главный определитель полученной линейной однородной системы (состоящий из координат векторов , записанных столбцами) отличен от нуля. Действительно, . Согласно правилу Крамера, система имеет только одно решение. Это решение . Следовательно, система векторов линейно независима. С учетом выводов в начале решения, заключаем: подсистема из системы является базисом пространства . Совершенно аналогично доказывается, что тройки векторов: 1) ; 2) ; 3) тоже будут базисами пространства . Для этого достаточно проверить, что определители из координат векторов указанных троек отличны от нуля. Приведем эти определители и их значения. , , .
Пример 4. Найти координаты вектора в базисе . Решение. Запишем разложение вектора по векторам , из которого найдем искомые координаты.
. Полученную систему решаем методом Гаусса, проводя соответствующие преобразования расширенной матрицы системы. . Здесь над матрицей проделаны следующие действия. 1) 2-ю строку матрицы умножили на , в результате получили матрицу . 2) У матрицы из 1-й строки вычли 2-ю строчку. Получили матрицу . 2) В матрице к 3-й строке прибавили 2-ю строку и ко 2-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную . По матрице выписываем соответствующую линейную систему и решаем ее.
в базисе . ________________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Исследовать на линейную зависимость систему матриц . 2. Доказать, что множество является линейным подпространством в пространстве . Найти базис и размерность подпространства
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|