Знакопеременные, знакопостоянные и знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
Занятие 10 (Фдз 11). 10.1. Знакопеременные, знакопостоянные квадратичные формы (определения, примеры). Их канонический и нормальный вид, индексы и ранг. Знакоопределенные (положительно и отрицательно определенные) квадратичные формы. Их канонический и нормальный вид. Индексы и ранг знакоопределенной формы. 10.2. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы. 10.3. Применение критерия Сильвестра при нахождении экстремумов функции нескольких переменных.
10.1. Квадратичная форма (или неопределенной), если существуют два набора координат
Нормальный вид знакопеременной квадратичной формы такой:
Квадратичная форма называется положительной, если для любого набора координат Нормальный вид неотрицательной квадратичной формы такой:
Квадратичная форма называется отрицательной, если для любого набора координат Нормальный вид неположительной квадратичной формы такой:
Положительные и отрицательные квадратичные формы называются знакопостоянными (их также называют полуопределенными).
Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любого нетривиального набора координат Нормальный вид положительно определенной квадратичной формы такой:
Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если для любого нетривиального набора координат Нормальный вид отрицательно определенной квадратичной формы такой:
Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются знакоопределенными (или определенными).
Приведем примеры. 1) 2) 3) 4) 5)
В данных примерах рассмотрены достаточно простые (для исследования на знак) квадратичные формы. В общем случае, исследование знака квадратичной формы можно провести только после приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Пример 1. Исследовать на знак квадратичную форму Решение. Данная квадратичная форма приводится к следующему каноническому виду (см. пример 1 из занятия 9):
Пример 2. Исследовать на знак квадратичную форму Решение. Данная квадратичная форма приводится к следующему каноническому виду (см. пример 2 из занятия 9):
Пример 3. Исследовать на знак квадратичную форму
Решение. Данная квадратичная форма приводится к следующему каноническому виду (см. пример 3 из занятия 9):
Пример 4. Исследовать на знак квадратичную форму
Решение. Данная квадратичная форма приводится к следующему каноническому виду (см. пример 4 из занятия 9):
Пример 5. Исследовать на знак квадратичную форму
Решение. Методом Лагранжа приведем квадратичную форму к каноническому виду.
10.2. При исследовании квадратичной формы на положительную или отрицательную определенность вместо метода приведения квадратичной формы к каноническому виду часто используют критерий Сильвестра. Рассмотрим матрицу Вычислим все ее угловые определители: Справедлива следующая теорема (критерий Сильвестра). 1. Квадратичная форма 2. Квадратичная форма
Пример 6. С помощью критерия Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму Решение.
Пример 7. С помощью критерия Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму Решение.
Пример 8. С помощью критерия Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму Решение.
вывод: данная квадратичная форма является отрицательно определенной.
10.3. Критерий Сильвестра используется также при поиске экстремумов функции нескольких переменных. Приведем алгоритм нахождения экстремумов функции 1. Из системы уравнений 2. Вычисляем все частные производные второго порядка и составляем из них матрицу
3. Подставим координаты стационарной точки
1) если 2) если 3) если
Пример 9. Найти экстремумы функции Решение. ОДЗ (область допустимых значений):
Теперь вычислим элементы
В точке
Пример 10. Найти экстремумы функции Решение. ОДЗ (область допустимых значений):
Учитывая ОДЗ, из уравнения Если Следовательно, функция Теперь вычислим элементы
1) В точке
2) В точке
________________________________________________________________________
Домашнее задание. 1. С помощью критерия Сильвестра исследовать на положительную (отрицательную) определенность следующие квадратичные формы. Если квадратичная форма не является знакоопределенной, то методом Лагранжа привести ее к каноническому виду, по которому определить является ли она знакопеременной или знакопостоянной. 1.1. 1.2. 1.3. 2. Исследовать на экстремум следующую функцию (с применением критерия Сильвестра).
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|