Сопряженные и симметричные линейные операторы в евклидовом пространстве.
Занятие 13 (Фдз 14). Ортогональные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженные и симметричные линейные операторы в евклидовом пространстве. 13.1. Ортогональный оператор и его свойства. 13.2. Сопряженный линейный оператор 13.3. Симметричный (самосопряженный) линейный оператор. Существование и нахождение ортонормированного собственного базиса симметричного линейного оператора.
13.1. Линейный оператор , заданный в евклидовом пространстве со скалярным произведением , называется ортогональным оператором, если , где . Ортогональный оператор не изменяет длин векторов и углов между ними, т.е. . В произвольном базисе пространства , (1) где - матрица ортогонального оператора, - матрица Грама, - координаты векторов в базисе . В случае ортонормированного базиса , и равенство (1) заменяется равенством . (2) Следовательно, в любом ортонормированном базисе пространства ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу .
Пример 1. Рассмотрим двумерное евклидово пространство , содержащее все векторы на декартовой плоскости со стандартным скалярным произведением . Пусть - линейный оператор поворота векторов вокруг начала координат на заданный угол . Доказать, что - ортогональный оператор. Решение. С геометрической точки зрения ортогональность заданного оператора очевидна. Проведем строгое доказательство. - единичные векторы осей . Эти векторы образуют стандартный ортонормированный базис пространства , с которым связано стандартное скалярное произведение. . (3) Рассмотрим два произвольных вектора . . . . Т.к. , делаем вывод: - ортогональный оператор. В дополнение к проведенному доказательству проверим ортогональность матрицы оператора в ортонормированном базисе . Из формул (3), (2) находим
, - ортогональная матрица.
Пример 2. Рассмотрим двумерное евклидово пространство со скалярным произведением в базисе . Пусть - линейный оператор, имеющий в базисе матрицу . Требуется выяснить, является ли оператор ортогональным оператором. Решение. Проверим выполнение равенства . - матрица Грама в базисе . не является ортогональным оператором.
13.2. Пусть даны два линейных оператора и в евклидовом пространстве со скалярным произведением . Оператор называется сопряженным оператором оператору , если , где . Если и матрицы оператора и сопряженного ему оператора в базисе пространства , и - матрица Грама скалярного произведения в этом базисе, то . (4) Указанная связь между матрицами и позволяет найти матрицу , если известна матрица , и наоборот, найти матрицу , если известна матрица . В ортонормированном базисе, где , равенство (4) заменится равенством . Следует отметить, что сопряженный оператор оператору совпадает с оператором . Поэтому, операторы и называются взаимно сопряженными.
Пример 3. Рассмотрим двумерное евклидово пространство со скалярным произведением в базисе . Пусть - линейный оператор, имеющий в базисе матрицу . Потребуем найти матрицу сопряженного оператора в данном базисе. Проверить также, что матрица оператора , сопряженного оператору , совпадает с матрицей оператора . Решение. - матрица Грама в базисе . Из матричного равенства (5) выводим: . . Займемся теперь поиском матрицы оператора . Согласно формуле (5) выводим: .
13.3. Пусть - линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве со скалярным произведением . Оператор называется самосопряженным или симметричным, если , где . Если - матрица оператора в базисе пространства , и - матрица Грама скалярного произведения в этом базисе, то
. В ортонормированном базисе (в котором ) это равенство заменится равенством . Следовательно, в ортонормированном базисе симметричный оператор имеет симметрическую матрицу. Важные свойства симметричного оператора фиксирует следующая теорема. Все собственные значения симметричного оператора действительны, и собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям ортогональны. Из собственных векторов симметричного оператора можно не только образовать собственный базис, но и даже ортонормированный собственный базис. Поэтому, любой симметричный оператор является оператором простого типа (см. занятие 7).
Пример 4. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в двумерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу . Решение. 1. Из характеристического уравнения найдем собственные значения оператора . . 2. Теперь найдем собственные векторы. - собственный вектор с собственным значением . - собственный вектор с собственным значением . В ортонормированном базисе скалярное произведение задается формулой , где - координаты векторов в этом базисе. - ортогональные векторы (что согласуется с выводами теоремы, приведенной выше) - линейно независимая система. Т.к. евклидово пространство двумерно, приходим к выводу: - ортогональный собственный базис. Чтобы получить ортонормированный собственный базис нужно пронормировать векторы . . . Итак, - собственный базис симметричного оператора .
Пример 5. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу . Решение. Найдем собственные значения и собственные матрицы оператора . . - собственный вектор с собственным значением .
- собственный вектор с собственным значением .
- собственный вектор с собственным значением . Собственные векторы отвечают различным собственным значениям. Следовательно, - ортогональная система векторов и одновременно является собственным ортогональным базисом оператора . Чтобы получить собственный ортонормированный базис , пронормируем векторы .
. . .
Пример 6. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу . Решение. Найдем собственные значения и собственные матрицы оператора . . , . - два линейно независимых собственных вектора с собственным значением . - собственный вектор с собственным значением . Собственные векторы образуют собственный базис оператора . Этот базис не является ортогональным: ортогонален , т.к. , не ортогонален , т.к. . Линейная оболочка векторов совпадает с множеством всех собственных векторов с собственным значением и образует линейное подпространство в пространстве . Система векторов служит базисом подпространства . Каждый из векторов этой оболочки ортогонален вектору . Проведем ортогонализацию базиса подпространства . . , . Векторы образуют ортогональный базис подпространства , а тройка векторов - ортогональный базис (собственный базис оператора ) пространства . Пронормировав векторы , получим собственный ортонормированный базис . . . .
Домашнее задание. 1. В двумерном евклидовом пространстве со скалярным произведением в базисе задан линейный оператор , имеющий в базисе матрицу . Найти матрицу в базисе оператора , сопряженного оператору ли оператор . 2. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в двумерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу . 3. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|