Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.
Занятие 14 (Фдз 15). 14.1. Ортогональные преобразования координат. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.
14.1. Ортогональным преобразованием координат называется преобразование координат векторов или (1) при переходе от одного ортонормированного базиса евклидова пространства к другому ортонормированному базису этого пространства. Координаты связаны с базисом , а координаты - с базисом . Матрица является ортогональной матрицей, т.е. . Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием (1) координат можно привести к каноническому виду. Делается это последовательным выполнением следующих шагов. 1. Записывается матрица заданной квадратичной формы.
. (2)
Пример 1. Привести квадратичную форму ортогональным преобразованием к каноническому виду. Решение. Выполним все указанные выше шаги 1 – 4. 1. - матрица квадратичной формы. Эту матрицу можно считать матрицей симметричного оператора в ортонормированном базисе двумерного евклидова пространства .
2. - собственные значения матрицы . - собственный вектор с собственным значением . - собственный вектор с собственным значением .
3. Векторы - собственные векторы с различными собственными значениями. Поэтому эти векторы ортогональны. Они образуют ортогональный базис пространства . Нормируем эти векторы. . . - собственный ортонормированный базис. Записывая координаты векторов в виде столбцов, получим следующую матрицу перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису . . Проверим на ортогональность матрицу . - ортогональная матрица. 4. Проведем в квадратичной форме ортогональное преобразование координат . (3) - канонический вид квадратичной формы, полученный ортогональным преобразованием координат (3). Заметим, что ответ полностью согласуется с формулой (2).
Пример 2. Привести квадратичную форму ортогональным преобразованием к каноническому виду. Решение. 1. - матрица заданной квадратичной формы. 2. . - собственный вектор с собственным значением . - собственный вектор с собственным значением . - собственный вектор с собственным значением . 3. - собственные векторы с различными собственными значениями - ортогональный собственный базис. Нормируем векторы . . . - ортонормированный собственный базис. По координатам векторов находим матрицу ортогонального преобразования координат и само это преобразование. .
4. Используя найденное преобразование координат приводим квадратичную форму к каноническому виду. .
Пример 3. Привести квадратичную форму ортогональным преобразованием к каноническому виду. Решение. 1. - матрица заданной квадратичной формы. Эту матрицу можно считать матрицей симметричного оператора в ортонормированном базисе трехмерного евклидова пространства . 2. . . . - два линейно независимых собственных вектора с собственным значением . . 3. - собственный базис. Он не является ортогональным, т.к. не ортогонален вектору . Проведем процесс ортогонализации к системе векторов .
. , . Векторы образуют собственный ортогональный базис симметричного оператора . Пронормировав векторы , получим собственный ортонормированный базис . . . . 4. По координатам векторов находим матрицу ортогонального преобразования и само ортогональное преобразование координат.
. .
Домашнее задание. 1. Ортогональным преобразованием координат привести квадратичную форму , к каноническому виду. Найти индексы инерции этой формы.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|