Отображения множеств. Линейные операторы и их матрицы.
Занятие 3 (Фдз 4).
3.1. Отображения множеств. Образ и прообраз. Однозначное и взаимно однозначное отображения, примеры. Обратное отображение. Композиция отображений.
3.2. Линейный оператор, его свойства, примеры линейных операторов.
3.3. Матричная запись действия линейного оператора в заданном базисе. Матрица линейного оператора и ее преобразование при переходе к новому базису.
3.1. Пусть даны два множества
и
, и задан некоторый закон
, по которому каждому элементу из множества
ставится в соответствие один или несколько элементов множества
. Тогда говорят, что задано отображение (преобразование)
множества
на множество
.
Если отображение
ставит в соответствие каждому элементу множества
ровно один элемент из множества
, то отображение
называется однозначным отображением. Пусть элементу
отображение
ставит в соответствие элемент
, тогда принято писать
, и элемент
называют образом элемента
, а элемент
- прообразом элемента
заданного отображения
. Множество всех образов отображения
обозначается
и называется образом множества
.
Если
является однозначным отображением множества
на множество
, и каждый образ
имеет только один прообраз
, то такое отображение называется взаимно однозначным.
Если даны два однозначных отображения
и
, то определено однозначное отображение
. Отображение
называется композицией отображений
и
.
Если
- взаимно однозначное отображение
, то существует обратное отображение
, действующее по правилу:
.
Композиция отображений
является тождественным отображением:
.
Пример 1. Пусть
- множество, состоящее из трех элементов
и
- множество, состоящее из пяти элементов
.
1) Пусть задано отображение
, такое, что
.
Закон
:
переводит элемент
в множество
, где
состоит из двух элементов
;
переводит элемент
в множество
;
переводит элемент
в элемент
.
Следовательно,
образом элемента
является множество
,
образом элемента
является множество
,
образом элемента
является элемент
,
образом всего множества
является множество
.
Прообраз элемента
состоит из одного элемента
,
прообраз элемента
также состоит из одного элемента
,
прообразом элемента
служит пустое множество
,
прообраз элемента
представляет множество
,
прообраз элемента
представляет множество
.
Отображение
не является однозначным отображением (т.к. образом элемента
является не один, а два элемента множества
).
2) Пусть задано отображение
, действующее так:
.
Здесь
:
переводит элемент
в элемент
(образом элемента
является один элемент
); переводит элемент
в элемент
(образом элемента
является один элемент
); переводит элемент
в элемент
(образом элемента
является один элемент
);
.
Прообразы элементов
- пустые множества.
Прообраз элемента
представляет множество из двух элементов
.
Прообраз элемента
состоит из одного элемента
.
Преобразование
является однозначным отображением, но не является взаимно однозначным (по двум причинам: прообразы элементов
пусты; и прообраз элемента
состоит из двух элементов
).
Пример 2. Отображение
, где
- множество всех векторов в трехмерном пространстве,
- множество всех векторов на плоскости,
. (1)
Найти образ вектора
и прообраз вектора
.
Решение. Чтобы найти образ
подставим координаты вектора
в формулы (1):
.
Чтобы найти прообраз вектора
, подставим координаты этого вектора в уравнения (1) и решим полученную систему относительно координат
.
,
.
(Вторая система из первой получена так: к 1-му уравнению прибавили 2-е уравнение и затем переставили местами 2-е и полученное 1-е уравнения).
Таким образом, прообразом вектора
служит множество векторов
, зависящее от одного параметра
.
Приведем примеры взаимно однозначных отображений
и обратных им отображений
.
1) Пусть
,
,
.
- взаимно однозначное отображение. Обратное отображение
действует так:
.
2) Пусть
,
. Отображение
, определенное по правилу
, является взаимно однозначным отображением. Обратным отображением
будет закон:
.
3) Пусть
- множество всех квадратных матриц второго порядка.
Отображение
, заданное по правилу
, где
, однозначно определяет по заданной матрице
ее образ (матрицу
).
Т.к. определитель матрицы
отличен от нуля, то по заданному образу (матрице
) находится ее единственный прообраз – матрица
. Следовательно,
- взаимно однозначно отображает множество
на множество
. Обратное отображение
действует так:
.
Пример 3.
,
,
. Даны два однозначных отображения
и
.
Найти отображение
- композицию отображений
и
.
Решение.
Согласно определению композиции отображений имеем:
;
;
;
. Следовательно,
- множество из трех элементов
.
3.2. Отображение
называется оператором, если
(т.е.
).
Если
и
- линейные пространства, и
- отображение, обладающее свойствами:
; (2)
, (3)
то такое отображение
называют линейным отображением.
Оператор
, определенный на линейном пространстве
и обладающий свойствами (2), (3), называется линейным оператором.
Свойства (2), (3) можно заменить одним:
и
. (4)
Свойства (2), (3) и обобщающее их свойство (4) называются свойствами линейности.
Из свойства (3) выводится:
. Следовательно, любой линейный оператор
переводит нулевой элемент линейного пространства
в нулевой элемент.
Пример 4. Доказать линейность отображения
из примера 2.
Решение.
Заменим формулы (1), определяющие заданное отображение матричным равенством
, где
. (5)
Пусть
- два произвольных вектора из пространства
и
- два произвольных числа. На основании равенства (5), выводим
.
Таким образом, установлено выполнение свойства линейности (4). Это доказывает линейность отображения
.
Пример 5. Доказать, что отображение
,
,
,
, (6)
не является линейным отображением.
Решение.
Покажем, что для заданного отображения свойство (3) не выполн.яется. Пусть
.
Т.к.
и
, то согласно закону (6)
. (7)
С другой стороны,
, где
.
. (8)
Из (7), (8) видно, в общем случае
и
. Следовательно,
. Значит,
- нелинейное отображение.
Пример 6. Доказать, что отображение
, действующее в пространстве многочленов
, является линейным оператором
Решение.
1. Сначала покажем, что
- оператор.
- оператор.
2. Теперь докажем линейность
с помощью обобщенного свойства линейности (4).
Пусть
- два произвольных многочлена из пространства
и
- два произвольных числа.



.
Свойство (4) выполнено и значит, заданный оператор
- линейный оператор.
Пример 7. Выяснить, является или нет отображение
, (где
-заданные квадратные матрицы второго порядка), действующее в пространстве матриц
, линейным оператором?
Решение.
1.
- оператор.
2. Пусть
- две произвольные матрицы из пространства
.
, 
.
.
Следовательно,
. Не выполнение свойства (2) означает, что заданный оператор
не является линейным.
Пример 8. Доказать, что отображение
множества
всех матриц
, определенное формулой
, где
, является линейным оператором.
Решение.
1) Пусть
- произвольные матрицы из множества
и
- произвольные числа.
.
- линейное подпространство в пространстве
.
2) Покажем теперь, что
.
=
- оператор.
3) Осталось доказать линейность оператора
.
и 

- линейный оператор.
3.3. Пусть:
- линейный оператор, действующий в линейном пространстве
размерности
;
- базис пространства
;
- координаты вектора
в этом базисе
;
- координаты вектора
, являющегося образом вектора
. Тогда действие оператора
в базисе
определяется матричным равенством
, где
. (9)
Матрица
называется матрицей линейного оператора
в базисе
. Эту матрицу находят так:
- первый столбец матрицы
;
- второй столбец матрицы
; и т.д.
Если наряду с базисом
задан другой (новый) базис
и
- координаты вектора
в базисе
;
- координаты вектора
в базисе
, то действие оператора
в новом базисе
определяется матричным равенством
, (10)
где
.
Матрица
- матрицей линейного оператора
в базисе
. Она связана с матрицей
формулой
, (11)
где
- матрица перехода от базиса
к базису
.
Пример 9. Найти матрицу
линейного оператора
, действующего в пространстве многочленов
по правилу
, в стандартном базисе
. С помощью найденной матрицы
записать действие оператора
в форме матричного равенства (9).
Решение.
По разложениям образов
элементов базиса
по этому базису найдем соответствующие столбцы искомой матрицы
оператора
.
- 1-й столбец матрицы
.
- 2-й столбец матрицы
.
- 3-й столбец матрицы
.
Следовательно, матрица оператора
в базисе
имеет вид
.
В нашем случае,
.
.
Формула (9) (закон действия оператора
в заданном базисе
) перепишется так:
.
Из этой формулы находим координаты
в базисе
для образа
функции
. По координатам
восстанавливаем явное выражение для
:
.
Этот результат легко проверить непосредственным вычислением
по заданному закону действия линейного оператора
на многочлен
:

.
Пример 10. Найти матрицы линейного оператора
из примера 8 в базисах
и
.
Решение.
1) Найдем матрицу
линейного оператора
в базисе
.
- 1-й столбец матрицы
.
- 2-й столбец матрицы
.
- матрица линейного оператора
в базисе
.
2) Матрицу
линейного оператора
в базисе
найдем с помощью формулы (11), которая в нашем случае примет вид
.
Найдем матрицу
перехода от базиса
к базису
.
- 1-й столбец
.
- 2-й столбец
.
.
___________________________________________________________________________
Домашнее задание .
1. Доказать линейность оператора
, если в базисе
действие этого оператора производится по формулам
где
. Найти матрицу этого оператора в базисе
и в базисе
.
2. Доказать, что отображение
,
является оператором, но не является линейным оператором. Найти образ вектора
и все прообразы вектора
.
3. Доказать, что отображение
,
,
является линейным оператором и найти матрицу этого оператора в стандартном базисе
и базисе
.
Воспользуйтесь поиском по сайту: