 |
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
|
|
|
|
Занятие 5 (Фдз 6).
5.1. Определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора, их геометрический смысл. Главные направления линейного оператора. Примеры нахождения собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
5.1. Собственным вектором линейного оператора 
называется такой элемент 
, что 
, при этом число 
называется собственным числом линейного оператора 
. Нулевой элемент 
пространства 
исключается из множества собственных векторов по той причине, что 
и 
. Другими словами, элемент не выявляет каких-либо различий у различных линейных операторов.
Если - векторное пространство, то собственный вектор приобретает ясный геометрический смысл: 
- собственный вектор оператора тогда и только тогда, когда его образ 
параллелен вектору (т.к. 
).
Если - собственный вектор оператора 
, то вектор 
при любом значении постоянной 
также является собственным вектором оператора с тем же собственным значением , которое отвечает вектору . Действительно,
.
Таким образом, собственный вектор с собственным значением оператора определяет в пространстве прямую, образованную векторами и называемую главным направлением оператора с собственным значением .
Одной из основных задач теории линейных операторов является задача по нахождении собственных значений, собственных значений и главных направлений заданного линейного оператора.
Пример 1. Найти собственные значения, собственные векторы, главные направления линейного оператора 
, действующего в линейном пространстве 
векторов на декартовой плоскости 
следующим образом: проектирует векторы на ось 
.
Решение.
Собственные векторы и отвечающие им собственные значения заданного линейного оператора легко определяются, исходя из геометрического смысла собственного вектора и геометрии действия оператора.
|
|
|
Рассмотрим единичные векторы 
на осях и 
соответственно. Эти векторы образуют базис пространства .
- собственный вектор оператора с собственным значением 
.
- собственный вектор оператора с собственным значением 
.
Главными направлениями оператора являются:
ось (с собственным значение ) и ось 
(с собственным значением ).
Пример 2. Найти собственные значения, собственные векторы, главные направления линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов на декартовой плоскости следующим образом: поворачивает каждый вектор 
на угол 
против часовой стрелки вокруг начала координат – точки 
.
Решение.
Собственные векторы у этого оператора есть только при двух значениях угла : 
и 
.
1) Если , то заданный оператор является тождественным отображением.
. Следовательно, любой ненулевой вектор плоскости является собственным вектором линейного оператора с собственным значением , и любая прямая, проходящая через начало координат, будет главным направлением оператора с собственным значением .
2) Если , то оператор осуществляет отображение по закону:
. Следовательно, любой ненулевой вектор плоскости является собственным вектором линейного оператора с собственным значением 
, и любая прямая, проходящая через начало координат, служит главным направлением оператора с собственным значением .
3) Если 
, то такой оператор поворота векторов не имеет ни одного собственного вектора. В этом случае, 
вектор 
не параллелен вектору 
, и значит, не существует числа такого, что 
.
Пример 3. Найти собственные значения, собственные векторы, главные направления линейного оператора 
, действующего в линейном пространстве 
векторов декартова пространства 
следующим образом: проектирует каждый вектор 
на плоскость .
|
|
|
Решение.
Также как и в примерах выше, собственные векторы и отвечающие им собственные значения заданного линейного оператора легко находятся из геометрического смысла собственного вектора.
1) Если вектор 
лежит на плоскости (или параллелен этой плоскости), то 
. Значит, любой такой вектор является собственным вектором линейного оператора , с собственным значением . Указанные векторы имеют координаты 
.
Соответственно, главными направлениями с собственным значением является множество всех прямых в плоскости , проходящих через начало координат.
2) Другими собственными векторами рассматриваемого оператора будут все векторы 
, параллельные оси 
. Для них 
, т.е. векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением . Указанные векторы имеют координаты 
.
Соответственно, главным направлением со значением является ось .
Других собственных векторов, отличных от указанных выше, у оператора нет.
Пример 4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: зеркально отражает каждый вектор пространства от плоскости 
.
Решение.
1) Любой вектор , направленный перпендикулярно плоскости , при зеркальном отражении от этой плоскости изменяет свое направление на противоположное, не меняя при этом своей длины. Т.е. 
. Следовательно, все такие векторы - собственные векторы с собственным значением . Из уравнения плоскости легко находится вектор 
, перпендикулярный этой плоскости. Т.к. параллелен 
, то 
, где 
. Таким образом, множество всех собственных векторов линейного оператора с собственным значением образуют векторы с координатами 
, где .
2) Теперь рассмотрим векторы 
, лежащие в (или параллельные) плоскости . Эти векторы при зеркальном отражении от указанной плоскости не меняются, т.е. 
. Значит векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .
Других собственных векторов у заданного линейного оператора нет.
Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: поворачивает каждый вектор на 
вокруг прямой 
, проходящей через начало координат 
.
|
|
|
Решение.
Рассмотрим сначала векторы , лежащие на заданной прямой. Эти векторы параллельны направляющему вектору 
, и значит, имеют координаты 
, где .
Под действием оператора векторы переходят в себя, т.е. .
Следовательно, векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .
Другими собственными векторами оператора будут векторы , перпендикулярные прямой . Под действием векторы переходят в векторы 
, т.е. 
.
Следовательно, векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .
Если обозначить координаты векторов через 
, то возможные значения этих координат найдутся из условия ортогональности векторов и 
, и будут представлять ненулевые решения уравнения 
.
Пример 6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: проектирует каждый вектор на прямую .
Решение.
Векторы , лежащие на прямой , являются собственными векторами оператора с собственным значением . Оператор не меняет эти векторы. .
Векторы , перпендикулярные прямой , проектируются в точку (т.е. нулевой вектор) на этой прямой. 
. Следовательно, векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .
Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора 
, где 
, и оператор действует по правилу 
, где 
.
Решение.
Данный линейный оператор рассматривался в примере 4 занятия 4. Там установлено, что
.
Согласно определению собственного вектора линейного оператора ненулевая матрица 
будет собственной матрицей (вектором) оператора , если 
, т.е. когда 
.
Из 1-го и 4-го уравнений полученной системы видно, что , либо 
.
Рассмотрим первый случай: . Из уравнений системы выводим
, где 
.
Следовательно, собственными матрицами линейного оператора со значением являются все матрицы из ядра 
этого оператора.
|
|
|
Рассмотрим второй случай: . Теперь из уравнений системы выводим
. (*)
Здесь в свою очередь: либо ; либо 
.
1) Если , то из системы (*) находим: 
, где 
. Учитывая, что в рамках второго случая 
, заключаем: матрицы вида 
являются собственными матрицами линейного оператора с собственным значением .
2) Если же , то из системы (*) находим: 
. В результате получили нулевую матрицу 
, которая по определению не включается в множество собственных векторов линейного оператора .
Других собственных матриц у линейного оператора нет.
__________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Исходя из геометрии действия линейного оператора, найти собственные векторы и собственные значения следующих линейных операторов:
1.1. Оператора проектирования векторов на плоскость 
;
1.2. Оператора отражения векторов от оси 
;
1.3. Оператора поворота векторов на 
вокруг оси .
2. Используя определение собственного вектора и собственного значения оператора найти собственные векторы и собственные значения следующих линейных операторов.
2.1. 
, 
, 
.
2.2. 
, 
, 
.
2.3. 
, 
.
|
|
|
