 |
Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
|
|
|
|
Занятие 6 (Фдз 7).
6.1. Характеристическая матрица, характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Нахождение собственных значений из характеристического уравнения и собственных векторов из однородной системы уравнений с характеристической матрицей.
6.1. Собственные значение и собственные векторы линейного оператора 
обычно находят по матрице оператора.
Пусть 
; 
- базис линейного пространства 
; 
- координаты вектора 
в базисе ;
- матрица оператора 
в базисе ; 
- единичная матрица.
называется характеристической матрицей.
Определитель 
после его вычисления дает
многочлен степени 
относительно переменной 
. Полученный многочлен называется характеристическим многочленом.
Уравнение
(1)
называется характеристическим уравнением. Это уравнение позволяет найти все собственные числа (значения) оператора (и действительные и комплексные), они называются также собственными числами матрицы 
.
Таким образом, собственные числа – корни характеристического уравнения. Следует особо отметить, что собственные числа оператора не зависят от базиса, они одни и те же в любом базисе пространства .
Ниже будем искать только действительные собственные числа оператора и отвечающие им собственные векторы.
После того, как характеристическое уравнение решено, и действительные собственные числа 
оператора найдены, собственные векторы оператора (они называются также собственными векторами матрицы ) находятся из систем линейных уравнений, матричное представление которых имеет вид:
. (2)
Множество всех ненулевых решений системы (2) – собственные векторы линейного оператора (матрицы ) с собственным значением 
.
|
|
|
Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы 
.
Решение.
Запишем характеристическое уравнение
.
- корни кратности 1 характеристического многочлена. Это - собственные числа матрицы .
Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу 
.
- все собственные векторы матрицы с собственным числом . Все эти векторы находятся по вектору 
, умножением на произвольное число 
. Поэтому, в качестве собственного вектора матрицы с собственным значением в ответе обычно указывается вектор 
.
Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу 
.
- все собственные векторы матрицы с собственным числом 
. Здесь вектор 
служит "определяющим" собственным вектором матрицы , отвечающим собственному числу данной матрицы.
Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы 
.
Решение.
Запишем характеристическое уравнение
.
Это уравнение имеет два комплексных корня 
, где 
. Таким образом, собственные числа матрицы - комплексные числа 
. Обычно ограничиваются нахождением действительных собственных чисел матрицы и соответствующих им собственных векторов. Ответ в этом случае таков: заданная матрица не имеет ни одного действительного собственного числа, и значит, не имеет собственных векторов с действительными координатами.
Однако у матрицы имеются собственные векторы с комплексными координатами. Найдем их.
Сначала найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу 
.
.
Если 2-е уравнение полученной системы умножить на 
, то получим 1-е уравнение этой системы. Поэтому, система эквивалентна системе 
из одного уравнения.
Положим в ней 
, получим 
. Следовательно, 
- собственный вектор матрицы , отвечающий собственному числу . Все другие собственные векторы с данным собственным значением получаются из вектора , умножением на произвольное комплексное число .
|
|
|
Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу 
.
.
Положим 
, получим . Следовательно, 
- собственный вектор матрицы , отвечающий собственному числу . Все другие собственные векторы с данным собственным значением получаются из вектора 
, умножением на произвольное комплексное число 
.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы 
.
Решение.
Собственные числа матрицы найдем из характеристического уравнения
.
- корень кратности 2 и - корень кратности 1 характеристического уравнения.
Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .
- все собственные векторы.
"Определяющий" собственный вектор для числа – вектор 
.
Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .
- все собственные векторы.
"Определяющий" собственный вектор для числа – вектор 
.
Пример 4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора 
, где 
, если оператор действует по правилу 
, где 
.
Решение.
Поставленная задача уже была решена в примере 7 занятия 5 исходя из определений собственного вектора и собственного значения линейного оператора. Здесь приведем другое решение, основывающееся на матрице оператора и характеристическом уравнении.
1) Найдем матрицу оператора в стандартном базисе пространства 
:
.
.
,
,
,
.
Полученные столбцы приводят к следующей матрице 
.
Характеристическое уравнение:
.
Его корни 
- собственные значения оператора .
2) Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу 
.
- собственные векторы матрицы с собственным числом , они представляют линейную комбинацию трех "определяющих" собственных векторов: 
.
Вектор эквивалентен матрице 
.
Вектор эквивалентен матрице 
.
Вектор 
эквивалентен матрице 
.
Таким образом, собственному числу оператора отвечают собственные матрицы: 
.
3) Теперь найдем собственные векторы матрицы для числа . 
- все собственные векторы матрицы с собственным числом 
. Они представляют линейную комбинацию на векторе: 
, который приводит к матрице
.
Итог: собственному числу оператора отвечают собственная матрица 
.
Сравнение полученных результатов с результатами примера 7 занятия 5 показывает их полную идентичность.
|
|
|
Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора 
, где 
, и оператор действует по правилу 
.
Решение.
.
. (3)
Найдем теперь матрицу оператора в стандартном базисе 
пространства 
.
Полагая 
из (3) находим
- первый столбец матрицы .
- второй столбец матрицы .
- третий столбец матрицы .
- собственные числа матрицы и одновременно собственные значения линейного оператора .
.
Собственному вектору 
отвечает многочлен 
.
Собственному вектору 
отвечает многочлен 
.
Следовательно, многочлены вида 
являются собственными многочленами (отвечающими собственному значению 
) заданного линейного оператора .
_____________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
1.1. 
, 1.2. 
, 1.3. 
.
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , и оператор действует по правилу 
. Провести решение с помощью матрицы оператора в стандартном базисе 
пространства .
|
|
|
