 |
Результаты вычислительного эксперимента
|
|
|
|
Харків 2009 г.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
· Построить модель прогнозирования спроса на товар.
· Исследовать задачу построения оптимальной стратегии управления для динамической производственно-финансовой модели фирмы, использующей один технологический процесс на примере задачи оптимального ценообразования в однопродуктовой экономической модели.
системный анализ предметной области
Рисунок 1 Контекстная диаграмма системы
системный анализ предметной области
Рисунок 2 Диаграмма декомпозиции. Уровень А0
Иерархическая модель анализа проблемы
Рисунок 3
Иерархическая модель анализа проблемы: продуктивная работа предприятия
Получили вектор глобальных приоритетов, отранжировали его и, применяя принцип Парето, определили самые значимые неудовлетворенности:
- неквалифицированность кадров (0.2510);
- конкуренция аналогичных фирм (0.1656);
- длительный цикл производства (0.1329);
- большие затраты на материалы (0.1107);
- недостаток технического обеспечения (0.1067).
СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Общая задача управления состоит в следующем: требуется найти
, (1)
при условии,что 
, t0 и х (t0) = х0 фиксированы, (x(t),t) є T при t = t1, u(t) є U.
Подынтегральная функция I показывает, что функционал зависит от фазовых координат, управляющих параметров, являющихся функциями времени, и от времени, т. е.
I(х, u, t) = I (x1(t), x2(t),..., хn(t); u1(t), u2(t),...,ur(t); t), (2)
где t задано на промежутке t0≤t≤t1. Второе слагаемое F, которое называется функцией конечных параметров,показывает, что функционал зависит от конечного состояния и от конечного момента времени:
|
|
|
F(х1,t1) = F(x1(t1), х2(t1),..., хn(t1); t1). (3)
ФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается задача оптимального ценообразования на примере однопродуктовой макроэкономической модели.
, (4)
, (5)
k(0)=k0, k(T) = k1. (6)
Заметим, что потребление с(t) является прогнозируемой величиной, которую мы находим по методу множественной регрессии. Принцип максимума в данной задаче позволяет для оптимального процесса (k(t),m(t)) получить систему дифференциальных уравнений (7).
(7)
Для этой системы необходимо решить краевую задачу с условиями (6).
МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ
В матричной форме обобщенное уравнение регрессии имеет вид:
(8)
где: 
– вектор наблюдений зависимой переменной; 
– матрица наблюдений независимых переменных; 
– вектор неизвестных коэффициентов; 
– вектор ошибок.
Согласно МНК искомые оценки 
минимизируют сумму квадратов отклонений 
, т.е.
, (9)
Для получения оценок 
по МНК нужно продифференцировать величину 
по из условия равенства производной нулю, тогда оценка имеет вид:
. (10)
ОБЗОР РЕШЕНИЙ
Задача оптимального управления в вариационном исчислении (11) можно рассматривать как частный случай (1), в которую не входит функция конечных параметров.
(11)
Метод динамического программирования может применятся непосредственно для решения общей задачи управления
|
|
|
(12)
ОБЗОР РЕШЕНИЙ
Основным дифференциальным уравнение является уравнение Белмана
(13)
Принцип максимума применяется к задачам такого же типа, как и динамическое программирование (14). Для решения задачи вводится функция Гамильтона:
.
Для существования максимума должны выполняться необходимые условия (14), которые показывают что в каждой точке оптимальной траектории функция Гамильтона достигает максимума относительно управляющих параметров(16).
(15)
(15)
результаты Вычислительного эксперимента
Следующие факторы влияют на потребление выпускаемой продукции:
X 1 - индекс промышленного производства, характеризующий изменение его физического объема по сравнению с базисным месяцем. В качестве базисного месяца выбран декабрь 2008 года;
X 2 – индекс изменения спроса на конкурирующий товар по сравнению с базисным месяцем;
X 3 – индекс изменения затрат на материалы по сравнению с базисным месяцем;
X 4 – индекс трудоемкости единицы продукции;
X 5 – индекс изменения постоянных издержек (аренда, фонд оплаты труда, общехозяйственные расходы);
X 6 - индекс изменения по сравнению с базисным месяцем соотношения между экспортом данного товара из Украины и его импортом в Украину;
X 7 – индекс изменения переменных издержек;
X 8 - индекс потребительских цен текущего месяца по отношению к декабрю 2008;
X 9 - отношение официального курса доллара США в конце текущего месяца к его курсу в начале декабря 2008 года;
X 10 - удельный вес рабочих в составе предприятия по отношению к декабрю 2008 года.
Значения Xi, были получены за 36 месяцев (с января 2006г. по январь 2008г.), и взятые по отношению к значениям соответствующих показателей в декабре 2008 года. Для удобства вычислений значения всех показателей за декабрь 2008 года приняты за единицу.
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Влияние вышеописанных факторов на потребление показано в уравнение регрессии, которое имеет следующий вид
Таблица анализа остатков
| Характеристики | Значение |
| Множественная R | 0,80355007 |
| R2 | 0,64569272 |
| Скорректированная R | 0,50396980 |
| Стандартная ошибка оценки | 0,156546615 |
| Число наблюдений | 36 |
| Стандартная ошибка | 1,225402 |
Прогнозируемый спрос равен Y = 0,524, если взято среднему значению факторов. Прогнозируемый спрос равен Y = 1,216, если взято максимальное значение главного фактора, влияющего на потребление (индекс изменения затрат на материалы по сравнению с базисным месяцем). Если взято минимальное значение этого фактора, то получим Y = 1,086. Графики оптимальных траекторий k(t) и m(t) соответствующие спросу Y = 0,524 приведены на рисунке 4 – 7
|
|
|
|
|
|
