 |
Задачи к занятию № 3 «Комбинаторика»
|
|
|
|
1. Из шести экзаменов нужно составить расписание. Сколькими способами это можно сделать?
2. Сколькими способами 7 человек могут стать в очередь в одну кассу?
3. В комиссию по приему экзамена по математике входят 3 преподавателя. Всего на кафедре 6 преподавателей математики. Сколькими способами можно составить комиссию?
4. Из группы в 25 человек выбирают старосту и профорга. Сколькими способами это можно сделать?
5. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4? Сколько можно составить шестизначных чисел из 6 разных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5?
6. В контрольной работе будет 5 задач – по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной Юра решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите:
а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы,
б) число тех вариантов, в которых Юра умеет решать все 5 задач,
в) число тех вариантов, в которых Юра не сможет решить ни одной задачи,
г) число тех вариантов, в которых Юра умеет решать все задачи, кроме первой.
7. В клетки квадратной таблицы 2 
2 произвольно ставят крестики и нолики.
а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?
б) В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик?
в) В скольких случаях в верхней левой и нижней правой клетках будут различные значки?
8. Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин.
а) Каково число различных исходов?
б) В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?
в) В скольких вариантах фамилии кандидатов на должность мэра и на должность префекта состоят из разного числа букв?
|
|
|
г) Как изменятся ответы в пунктах а) и б), если учесть еще кандидата «против всех»?
9. Руководство некоторой страны решило сделать свой государственный флаг таким: на одноцветном прямоугольном фоне в одном из углов помещается круг другого цвета. Цвета решено выбрать из трех возможных: красный, желтый, зеленый.
а) Сколько вариантов такого флага существует?
б) Сколько из них флагов с кругом в верхнем правом углу?
в) Сколько флагов не желтого прямоугольного фона?
г) Сколько красных флагов с кругами в нижних углах?
10. В гостинице семь одноместных номеров, и семеро гостей желают в них разместиться, причем трое заранее зарезервировали конкретные номера. Найдите число способов расселения семи гостей по семи номерам.
11. В Сети связь происходит через узлы, которые нумеруются восьмизначными номерами (номер 00011122 возможен).
а) Сколько в Сети может быть узлов?
б) Сколько в Сети узлов с суммой цифр номера равной 71?
в) Сколько в Сети узлов с суммой цифр номера меньше 3?
12. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что:
а) каждый здоровался с каждым,
б) только один человек не здоровался ни с кем,
в) только двое не поздоровались между собой,
г) четверо поздоровались только между собой.
13. Учащийся имеет по одной монете достоинством в 1коп., 2коп., 3коп., 5коп., 10коп., 15коп., 20коп. Сколькими способами он может эти монеты разложить в два кармана?
14. У Васи есть 7 разных марок, а у Миши – 9 марок. Сколькими способами они могут обменяться друг с другом по две марки?
15. Среди перестановок цифр числа 1234567 сколько таких, которые: а) начинаются с 123, б) кончаются 123, в) начинаются с цифр 1, 2, 3 (в любом порядке).
16. Из скольких различных предметов можно составить 210 размещений по два элементов в каждом?
|
|
|
17. Найти n, если 
.
18. Сколько можно составить из простых делителей числа 3570 составных, которые содержат только три делителя?
19. Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите:
а) число всех возможных вариантов выбора,
б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть 4 туза,
в) число вариантов, при которых все полученные карты – пики,
г) число вариантов, при которых все полученные карты – одной масти.
20. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащей 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были все четыре масти?
21. В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и 3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля, если известно, что:
а) певцы А и Б ни за что не будут петь вместе,
б) певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В,
в) 6 певцов накануне сорвали голос на футболе, и одной певице придется петь мужскую партию,
г) все певцы и певицы прекрасно ладят между собой?
22. Из 20 вопросов к экзамену Вова 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.
а) Сколько существует вариантов билетов?
б) Сколько из них тех, в которых Вова знает все вопросы?
в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?
г) Сколько из них тех, в которых Вова выучил большинство вопросов?
23. Двенадцать рабочих надо разбить на три бригады по четыре человека.
а) Сколько может быть различных составов бригад?
б) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В окажутся вместе?
в) Сколько из них тех, в которых рабочие Д и Е окажутся вместе?
г) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В по одному окажутся в разных бригадах?
24. Для открытия сейфа нужно набрать определенное число (или слово) с помощью нескольких дисков. Пусть число букв на диске – 12, а число дисков – 5. Сколько неудачных попыток сделает человек, не знающий ответа и подбирающий слово наудачу?
25. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять перевод с любого из 5 языков на любой другой из них (р, а, н, ф, и)?
26. Сколькими способами можно группу из 15 человек разделить на две группы так, чтобы в одной было 4 человека, а в другой – 11?
|
|
|
27. Сколько разных делителей имеет число 30030?
28. Сколько можно составить из простых делителей числа 2310 составных чисел, которые содержат только два простых делителя?
29. Надо отправить 6 срочных писем, если есть 3 курьера и любое письмо можно дать любому курьеру. Сколькими способами это можно сделать?
30. Сколько разных слов можно получить из слова биссектриса, используя все буквы?
31. Из трёх видов пирожных надо сделать набор четырёх. Сколько наборов можно сделать?
32. Сколько можно построить разных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которого является целым числом от 1 до 10.
33. В группе 25 студентов. Они обменялись фотографиями друг с другом. Сколько всего было роздано фотографий?
34. Сколько диагоналей имеет выпуклый пятиугольник?
35. Доказать.
1) 
2) 
36. Найти четвертый член разложения 
.
37. Найти номер наибольшего члена в разложении 
.
38. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «миссисипи»?
39. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее: а) 3 гвоздики; б) 6 гвоздик одного цвета; в)4 красных и 4 розовых гвоздики?
40. Каждого из 6 студентов можно направить для прохождения практики на одно из трех предприятий. Сколькими различными способами это можно осуществить?
41. Сколькими способами можно распределить 6 билетов в театр по трем группам первокурсников?
42. Две команды, в каждой из которых по 5 спортсменов, строятся в одну шеренгу. Сколькими способами можно построить шеренгу, чтобы игроки одной команды не стояли рядом?
43. Из 20 сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в командировку. Сколько может быть различных составов отъезжающей группы, если три руководителя лаборатории (заведующий, его заместитель и главный инженер) одновременно уезжать не должны?
44. Сколько прямых линий можно провести через 7 точек, из которых лишь три лежат на одной прямой?
45. 7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются в три пакета по пять фруктов в каждом. Сколькими способами это можно сделать?
|
|
|
46. 12 человек прибыли в гостиницу, в которой есть один четырехместный, два трехместных и один двухместный номера. Сколько существует способов их размещения?
47. В почтовом отделении продаются открытки 6 видов. Сколькими способами можно приобрести в нем 4 открытки? 4 одинаковые открытки? 4 разные открытки?
48. В скольких девятизначных числах все цифры различны?
49. Сколько чисел меньших, чем 1 000 000, можно написать с помощью цифр 8 и 9?
50. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а)
1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8?
51. Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых: а) не встречаются цифры 6 и 7? б) цифра 8 является последней?
52. Сколько различных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, таких, которые являются: а) четными, б) кратными 5?
53. Во сколько чисел от 0 до 999 входит цифра 9? Во сколько чисел она входит дважды? Во сколько чисел входит цифра 0? Во сколько чисел она входит дважды? Во сколько чисел входят цифры 0 и 9? А цифры 8 и 9?
54. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если а) цифры не повторяются, б) цифры могут повторяться?
52. Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны?
55. Во скольких десятичных числах сумма цифр равна трем?
56. Во скольких девятизначных числах все цифры различны?
57. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 123 153?
58. Найдите сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках следующих 4 цифр: а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2, 2, 5; в) 1, 3, 3, 3; г) 1, 1, 4, 4?
59. В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, ложки и блюдца отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (каждый получает чашку, блюдце и ложку?)
60. Человек имеет 6 друзей и в течение 20 дней приглашает к себе в гости троих из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами он может это сделать?
61. Имеется 3 курицы, 4 утки и 2 гуся. Сколькими способами можно выбрать из них несколько птиц так, чтобы среди выбранных оказались и куры, и утки, и гуси?
62. Сколькими способами можно выбрать из 15 человек группу людей для работы, если группа должна состоять не менее чем из5 людей? Решите эту задачу, если число людей n, а наименьшее число людей в группе р?
63. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные два человека из них не могут быть выбраны вместе?
64. У ювелира есть 5 одинаковых изумрудов, 8 одинаковых рубинов и 7 одинаковых сапфиров. Сколькими способами он может выбрать их них 3 камня для брошки?
|
|
|
65. У мужа 12 знакомых – 5 женщин и 7 мужчин, а у жены – 7 женщин и 5 мужчин (иные, чем у мужа). Сколькими способами можно составить компанию из 6 мужчин и 6 женщин так, чтобы 6 человек пригласил муж и 6 – жена?
66. На каждом борту лодки сидят по 4 человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причем 10 человек хотят сидеть на левом борту лодки, 12 - на правом, а для 9 безразлично, где сидеть?
67. В урне лежат жетоны с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Из нее вынимают 3 жетона. В скольких случаях сумма написанных на них чисел будет равна 9? Не меньше 9?
68. Труппа состоит из 10 артистов. Сколькими способами можно выбирать из нее в течение двух вечеров по 6 человек для участия в спектаклях так, чтобы эти составы не совпадали друг с другом?
69. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 2 экземпляра другой и 1 экземпляр третьей. Ни одному участнику не дают двух одинаковых книг (но могут дать две или три различные книги). Сколькими способами могут быть вручены премии?
70. В студенческой группе 16 девушек и 12 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий трех студентов одного пола?
71. В электричке 12 вагонов. Сколько существует способов размещения 4 пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира?
72. Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между четырьмя ребятишками?
73. Сколько существует способов размещения 9 человек в двухместный, трехместный и четырехместный номера гостиницы?
74. Сколькими способами можно распределить 16 видов товаров по трем магазинам, если в первый надо доставить 9, во второй – 4, в третий – 3 вида товаров?
75. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на хорошо и отлично. Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?
76. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «Абакан» так, чтобы согласные шли в алфавитном порядке?
77. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга?
78. Сколько различных браслетов можно сделать из 5 одинаковых изумрудов, 6 одинаковых рубинов и 7 одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?
79. Трое юношей и 2 девушки выбирают себе место работы. В городе есть 3 завода, где требуются рабочие в литейные цехи (туда берут лишь мужчин), две ткацкие фабрики, куда берут лишь женщин, и 2 фабрики, куда требуются и мужчины, и женщины. Сколькими способами они могут распределиться между этими предприятиями?
80. Сколькими способами можно выбрать из 15 человек группу людей для работы, если группа должна состоять не менее чем из 5 людей?
81. В урне лежат жетоны с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Из нее вынимают три жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел будет равна 9? Не меньше 9?
82. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места: а) 2 фотографии, б) 4 фотографии, в) 6 фотографий?
83. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
84. Номер машины в некотором городе состоит из двух различных букв, взятых из набора М, Н, К, Т, С, и трех различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами?
85. Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать?
86. Из группы туристов четырех дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?
|
|
|
