Число размещений с повторением
Правило суммы Если элемент А может быть выбран из данного множества n способами, и после этого элемент В может быть выбран m способами, то выбор элемента А или В может быть сделан (n+m) способами. (все понятия и формулы записываются, примеры подробно расписываются, совместно обсуждаем условие и находим решение, применяя изученные формулы,) Пример 1: Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы? Решение: Данное множество – множество всех тем по алгебре и геометрии. Обозначим: элемент А – выбранная тема по алгебре, В – выбранная тема по геометрии, т.е. выбрать тему по алгебре можно 17-ю способами по правилу суммы: n+ m =17+13=30 тем. Пример 2: Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать а) один билет из спортлото или автомотолотереи? б) один билет из денежно-вещевой лотереи или автомотолотереи? в) один билет из денежно-вещевой лотереи, спортлото или автомотолотереи?
Решение: Обозначим: Д-В – элемент А, n=5; Сп. – элемент В, m=6; Ав. – элемент С, k=10. а) денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то по правилу суммы m+ k = 6+10=16. б) билеты спортлото в выборе не участвуют, тогда n + k = 5+10=15. в) участвуют все билеты, т.е n + m + k=6+5+10=21.
Правило произведения Если элемент A можно выбрать n способами из указанного множества, и после этого элемент B может быть выбран m способами, то выбор пары А и В может быть сделан (n Пример 3: В книжном шкафу на двух полках стоят книги. На первой полке – 5 книг, а на второй – 10. Сколькими способами можно выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй?
Решение: Книгу с первой полки можно выбрать 5-ю способами, т.е. n=5, книгу со второй полки можно выбрать 10-ю способами, т.е. m=10. Для ответа на вопрос задачи воспользуемся правилом произведения. 5 Пример 4: В лотерее каждому участнику даётся трёхзначный номер от 000 до 999. Организаторы лотереи решили, что выигрышными будут те номера, в которых есть хоть одна восьмерка. Сколько будет невыигрышных номеров?
Решение: Первую цифру числа можно записать 9-ю способами, т.к. без восьмёрки m
Пример 5: В букинистическом магазине лежат 6 разных изданий романа И.С. Тургенева «Рудин», три издания его же романа «Дворянское гнездо» и четыре издания романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 разных сборников, в каждом из которых есть романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 сборников с романами «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов? Решение: Рудин – 6. Дв. гнездо – 3 От. и дети – 4
Воспользуемся правилами суммы и произведения: 6∙3∙4 + 5∙4 + 6∙7=72+20+42=134 Перед изучение следующей темы, повторим со школы теорию вероятности, ее формулы, повторим что такое факториал, как его находить и где применять. И так записываем следующую тему: Упорядоченные и неупорядоченные выборки Имеется множество, содержащее n элементов. Из этого множества выбрано m элементов. Выбор может производиться с возвращением и без возвращения. Выборки могут быть упорядоченными или неупорядоченными. Выбор без возвращения. 1) В упорядоченных выборках важно, какие элементы их составляют, и в каком порядке они расположены. Упорядоченные выборки называются размещениями.
Число размещений из n по m – А А Пример: Сколько можно образовать различных четырехзначных чисел, чтобы цифры не повторялись? (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) n=10, m=4 Считаем число размещений, так как важен в каком порядке выбираются цифры: 2) Частным случаем размещений являются перестановки. Они содержат одинаковый набор элементов и отличаются лишь порядком этих элементов. Число перестановок -
Что такое факториал, кто помнит, как его можно расписать. Студент выходит к доске и расписывает, вместе с группой вспомнили и перешли к решению примеров. Пример 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр (1;6;8), чтобы цифры не повторялись? Решение: Считаем число перестановок, так как из 3х элементов выбираем 3: 3) Неупорядоченными называются выборки, в которых порядок расположения не важен, а важно лишь какие элементы составляют выборку. Неупорядоченные выборки называются сочетаниями. Число сочетаний из n по m -
или Пример 7: В группе 10 человек. Нужно выбрать трех человек на одну и ту же должность. Сколько существует способов для выбора? Решение: Находим число сочетаний из 10 по 3(т.к. порядок не важен): Свойства сочетаний ü ü ü ü Рекуррентная формула (выражает следующее через предыдущее)
Задания записывают в тетрадь, затем далось 20 мин., для самостоятельной работы. Далее каждую задачу разобрали у доски до полного усвоения материала, студенты выходили к доске и объясняли какдый ход решения, что и от куда взяли и почему такой ответ. Задания 1. Имеются 5 красок. Сколько существует способов для а) выбора трех красок; б) раскрашивания трехцветного полосатого флага с заданным направлением полос; в) для раскрашивания трехцветного флага с заданным направлением полос, если одна полоса должна быть красной? Решение: а) Находим число сочетаний из 5 по 3 (т.к. порядок не важен)
б) Находим число размещений из 5 по 3 (т.к. важен порядок)
в)
Находим в каждом случае число размещений из 4 цветов (т.к. пятый уже занят – красный) по 2 (т.к. цвет третьей полосы уже известен). А затем сложим их.
12+12+12=36 способов. 2. В группе 7 юношей и 5 девушек. Сколько существует способов для выбора 6 человек, чтобы среди них было не менее 4-х юношей. Решение: ю ю ю ю д д или ю ю ю ю ю д или ю ю ю ю ю ю 3. Среди 10 команд разыгрывается 3 комплекта медалей: золото, серебро, бронза. Сколько существует способов распределения? Решение: Находим число размещений из 10 по 3 (т.к. важен порядок):
Начало второй пары, знакомство с понятие Бином Ньютона. Записывается формула с полным пояснением,. Бином Ньютона Выбор с возвращением Число размещений с повторением Имеется множество, содержащее n элементов, из которого берут k элементов, но с возвращением.(записывается в тетрадь, далее обсуждение совместное примера) Пусть имеется множество элементов (a, b, c). Сколько можно образовать различных пар этих элементов (выбор с возвращением и порядок важен)? (a,a), (a,b), (a,c) (b,a), (b,b), (b,c) =>9 способов. (c, a), (c, b), (c, c)
Знакомство с понятием перестановки с повторением. Разбор формул и наглядное применение их на примерах.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|