Функции нескольких переменных
Понятие дифференциала Пусть функция y = f (x) дифференцируема при некотором значении переменной x. Следовательно, в точке x существует конечная производная Тогда по определению предела функции разность
является бесконечно малой величиной при
(величина Если оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно
Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают или Следовательно,
или
Итак, дифференциал функции y = f (x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной. Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, - наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет. Дифференциал функции можно записать в другой форме:
или Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f (x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении x на величину
Дифференциалы высших порядков Напомним, что дифференциал функции Рассмотрим это выражение (при фиксированном приращении Этот дифференциал от первого дифференциала называется вторым дифференциалом от функции Вообще, При Для доказательства неинвариантности дифференциалов высших порядков достаточно привести пример. Пусть
Если же Однако при этом Как видно, получилось не то же самое, что по формуле (4.16) с учётом зависимости Функции нескольких переменных 1. Определение. Если каждой паре (x, y) значений двух независимых переменных из области Wставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x, y).
2. Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность. 3. Частное и полное приращение функции. Полное приращение функции
Частное приращение функции
Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений. Пример. z = xy.
4. Непрерывность функции нескольких переменных Предел функции. Пусть z = f (x, y) определена в некоторой окрестности A (x 0, y 0). Определение. Постоянное число b называют пределом z = f (x, y) при P (x, y) стремящемся к A, если для любого e > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству | AP | < d, имеет место неравенство | f (x, y)- b | < e. 5. Непрерывная функция 6. Частные производные
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|