Свободное движение. Общее решение уравнения Шредингера.
Московский институт электронной техники Кафедра КФН
Лабораторная работа 2 Свободное движение электрона. Волновой пакет.
Общие указания. На экране моделируется движение электрона в виде изменяющегося со временем распределения плотности вероятности. Кривая на экране имеет вид гауссовой кривой. Эта кривая описывает распределение плотности вероятности Движение волнового пакета характеризуется тремя физическими параметрами. 1. Амплитуда волнового пакета 2. Полуширина пакета 3. Скорость движения электрона Скорость электрона вычисляется с помощью следующей формулы.
Здесь
Задается энергия электрона
Пространственные величины в этой работе измеряются в ангстремах Время будем измерять в фемтосекундах
Задания. Если электрон находится в состоянии с волновой функцией
Следующие 4 задания будут посвящены исследованию эволюции волнового пакета, заданного этой формулой. Задание 1. а) Запустить программу free_movement.m и получить картинку, показанную на Рис. 01. Подставить в программу free_movement.m данные своего варианта. Подбирая пространственные параметры xBegin, xEnd и временные параметры t 1, t 2, t 3, t 4 в этой программе, получить для своего варианта картину похожую на Рис.01. Работу программы показать преподавателю. Подобранные параметры занести в конспект. Эти параметры нужно будет использовать в следующих заданиях.
Рис.01. Положение пакета в разные моменты времени. б) С помощью формул (1), (2) вычислить скорость электрона для своего варианта. Использовать единицы Å / фс (ангстремы на фемтосекунды), В приведенном примере энергия электрона равна Результат занести в конспект и показать преподавателю.
Задание 2. а) Запустить программу Wave_Packet, файлы которой находятся в папке Wave_Packet. Запускать программу надо из файла main.m. Рис.02. Изменение амплитуды пакета со временем.
После запуска программы обнаружится, что полученная картина отличается от картины на Рис. 02. В верхней части окна отсутствует информация об изменении полуширины пакета от времени. Поэтому вначале надо программу Wave_Packet изменить, добавив нужные строчки кода, что бы результат был таким же, как на Рис.02. Посмотрим, какие изменения надо произвести в функциях программы Wave_Packet. Во-первых, рассмотрим функцию Work_Window. Эта функция создает рабочее окно и элементы управления (controls). В этой функции создаются 8 элементов управления, четыре типа ' pushbutton ' – управляющие кнопки, и четыре типа ' text ' – текстовые поля для вывода информации. Как оформляются элементы управления можно понять, если рассмотреть код функции Work_Window. Детали же можно посмотреть в справочной системе Help MATLAB. У каждого элемента управления имеется свой дескриптор (handle), другими словами номер по которому система различает элементы управления. Дескрипторы можно обозначать любым набором символов без пробелов. В функции Work_Window дескрипторы обозначаются следующим образом: hBut1, hBut2, hBut3, hBut4, hTxtys1, hTxtys1T, hTxtys2, hTxtys2T. Для краткости будем элемент управления называть именем его дескриптора. Рассмотрим следующие четыре элемента управления - hTxtys1, hTxtys1T, hTxtys2, hTxtys2T. Код этих элементов управления находится в конце функции Work_Window. Первый элемент управления hTxtys1T это текстовое поле, в котором находится надпись символа времени, и единица измерения времени ' t (fs) = '. Следующее текстовое поле hTxtys1 предназначено для показа текущего времени во время работы программы. Вначале в нем установлено значение ноль '0'. Следующие два элемента управления hTxtys2, hTxtys2T предназначены для вывода информации о величине амплитуды волнового пакет при движении пакета. Для того чтобы передать дескрипторы элементов управления из функции Work_Window в другие функции программы, эти дескрипторы объявляются глобальными переменными. Для этого в начале функции Work_Window перед дескрипторами ставится служебное слово global.
Заметим, что элементы управления располагаются в рабочем окне программы, или можно сказать в графическом окне, в котором появляется вся графическая информация. Графическое окно создается функцией figure, и имеет дескриптор hFig1. б) Задача студента добавить в конце функции Work_Window два элемента управления hTxtys3, hTxtys3T для вывода информации о полуширине пакета во время движения пакета. Не забыть в начале функции Work_Window описать дескрипторы как глобальные переменные.
Во-вторых, рассмотрим функцию Move_Packet. В начале функции Move_Packet с помощью функции set элементы управления делаются видимыми ' Visible on ', активными ' Enable on ' или не активными ' Enable off '. в) Задача студента добавить две строчки кода, чтобы сделать видимыми два поля вывода hTxtys3, hTxtys3T.
Далее посмотрим на следующие строчки кода функции Move_Packet. str = num2str(t); set(hTxtys1,'String',str);
str = num2str(AFun(h,m,d0,t)); set(hTxtys2,'String',str); Функция num2str переводит значение времени t в строчку str, которая затем появляется в поле вывода hTxtys1. Аналогично две следующие строчки кода переводят значение амплитуды пакета, которая вычисляется с помощью функции AFun(h,m,d0,t), в строчку str, и затем выводят результат в поле вывода hTxtys2. г) Задача студента добавить в этом месте функции Move_Packet две строчки кода, чтобы вычислить значение полуширины пакета d (t) в момент t, перевести результат в строчку str и поместить в поле вывода hTxtys3.
д) Запустить измененную программу Wave_Packet и получить картинку, совпадающую с Рис. 02.
е) Подставить во вновь созданную программу Wave_Packet данные своего варианта и параметры из задания 1. Подбирая временной параметры dt – шаг по времени и время задержки изображения del в функции pause (del), получить для своего варианта картину плавного движения волнового пакета, со скорость не слишком маленькой и не слишком большой. В приведенном примере с энергией Работу программы показать преподавателю.
ж) Запустив программу Wave_Packet с помощью кнопки < Start > и останавливая движение волнового пакета с помощью кнопки < Stop > и затем, возобновляя движение с помощью кнопки < Move > заполнить следующую таблицу.
Для приведенного примера эта таблица может иметь следующий вид.
Таблицу занести в конспект и показать преподавателю.
Задание 3. Запустить программу amplitude и получить картинку, показанную на Рис. 03. В этой программе строится зависимость амплитуды пакета Рис.03. Изменение амплитуды пакета со временем. Работу программы показать преподавателю.
Задание 4. Запустить программу half_width и получить картинку, показанную на Рис. 04. В этой программе строится зависимость полуширины пакета Рис.04. Изменение полуширины пакета со временем. Работу программы показать преподавателю.
Если электрон находится в состоянии с волновой функцией
В частности в начальный момент времени
Поэтому параметр
В квантовой механике показывается, что если имеется отличная от нуля неопределенность координаты электрона
Так как существует разброс импульса электрона в некотором интервале, то можно говорить о вероятности электрону иметь то или иное значение импульса. В общем случае найти распределение плотности вероятности импульса электрона можно по формулам (B.42), (B.45), (B.46). Плотность вероятности импульса для волнового пакета (А.22) определяется формулой (B.49).
Рис.05. Зависимость плотности вероятности импульса электрона от его импульса. Оценим, какие значения импульса принимает электрон в данной работе. Возьмем, например, электрон с энергией Распределение (6) показано на Рис. 05. Вертикальной зеленой линией отмечено положение среднего импульса электрона
Как видно из формул (4) и (7) соотношение неопределенность Гейзенберга (5) в этом случае принимает вид.
Вероятность электрону иметь импульс в пределах
В программе momentum_distribution строится распределение импульса Рис. 05 и вычисляется интеграл (9).
Задание 5. а) Запустить программу momentum_distribution и получить картину, показанную на Рис. 05. Для своего варианта подобрать нужные параметры, и получить картину похожую на Рис. 05. Работу программы показать преподавателю. б) С помощью программы momentum_distribution найти средний импульс электрона
Для приведенного примера некоторые из этих величин соответственно равны.
Таблицу занести в конспект и показать преподавателю.
Как показывает анализ, неопределенность импульса
В начальный момент времени неравенство Гейзенберга (5) для волнового пакета превращается в равенство (8). Затем при движении волнового пакета равенство превращается в неравенство, и по мере движения неравенство Гейзенберга усиливается. в) Используя результаты задания 2, заполнить следующую таблицу.
Для приведенного примера эта таблица может иметь следующий вид.
Таблицу занести в конспект и показать преподавателю.
Варианты к лабораторной работе.
Требования к отчету.
1. Лабораторная работа выполняется в тетради для лабораторных работ (отдельные листы не принимаются). 2. Графики выполняются в графических пакетах (за редким исключением на миллиметровки). 3. Предоставить отчеты по четырем заданиям, приведенным выше. 4. Выучить теоретический материал, данный в приложениях A и B. 5. Уметь выводить формулы из приложения A. 6. Уметь объяснять смысл формул приведенных в приложении B.
Приложение A. Нахождение решения уравнения Шредингера для свободного электрона в виде волнового пакета.
Запишем уравнение Шредингера для свободного электрона
После преобразований уравнение Шредингера принимает вид
Это уравнение решаем с начальным условием
Здесь
Подставляем (A.4) в (A.2) и получаем
Решение (A.4) можно теперь записать в следующем виде
Используем начальное условие (A.3), и из (A.6) получаем разложение начальной волновой функции электрона в интеграл Фурье.
К выражению (A.7) применяем обратное преобразование Фурье
Подведем итог проделанным преобразованиям. Итак, если известна волновая функция электрона Для некоторых распределений
Здесь Рассмотрим подробно свойства начальной волновой функции (A.9). Во-первых, волновая функция нормирована на единицу.
Нормировка (A.10) легко доказывается, если использовать следующий табличный интеграл.
Во-вторых, если волновая функция нормирована на единицу, то квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности, нахождения электрона в данной точке пространства.
Здесь величину
Рис.1. Распределение плотности вероятности в начальный момент времени.
Отметим некоторые особенности графика на Рис.1. 1. Координата 2. Величина
В этом случае величину 3. Вычислим вероятность нахождения электрона в интервале
Таким образом, вероятность обнаружить электрон в области с центром В-третьих, начальная волновая функция
Поэтому, величина Таким образом, свойства начальной волновой функции разобраны. Теперь подставим функцию
В интеграле (A.16) делаем следующую замену переменной интегрирования.
В результате интеграл (A.16) принимает следующий вид.
В результате получаем следующее выражение для коэффициентов
Подставляем коэффициенты в формулу (A.6), получаем следующее интегральное выражение для волновой функции.
В интеграле (A.19) делаем следующую замену переменной интегрирования.
В результате интеграл (A.19) принимает следующий вид.
Окончательно получаем формулу для волнового пакета.
Легко видеть, что для начального момента времени
Подставляем волновой пакет (A.22) в формулу (A.23), и в результате получаем следующее выражение.
Здесь центр волнового пакета, или максимум распределения плотности вероятности, движется со скоростью
Полуширина волнового пакета увеличивается со временем, и определятся следующей формулой.
Амплитуда волнового пакета уменьшается со временем, и определятся следующей формулой.
Таким образом, распределение вероятности для волнового пакета можно записать в следующем виде.
На Рис.2. показано распределение вероятности в три последовательных момента времени.
Рис.2. Распределение вероятности в три последовательных момента времени.
Приложение B. Общие сведения о решении уравнения Шредингера.
Введение.
Движение квантовой частицы в общем случае описывается уравнением Шредингера:
Здесь i – мнимая единица, h =1.0546´10-34 (Дж×с) - постоянная Планка. Оператор Ĥ называется оператором Гамильтона. Вид оператора Гамильтона зависит от типа взаимодействия электрона с внешними полями. Если не учитывать спиновые свойства электрона, например, не рассматривать движение электрона в магнитном поле, то оператор Гамильтона можно представить в виде.
Здесь
где m =9.1094´10-31 (кг) – масса электрона. Потенциальная энергия В данной лабораторной работе будет рассматриваться одномерное движение электрона вдоль оси x. Уравнение Шредингера в этом случае принимает следующий вид:
Уравнение (B.4) с математической точки зрения является дифференциальным уравнение в частных производных для неизвестной волновой функции Y = Y (x,t). Известно, что такое уравнение имеет определенное решение, если заданы соответствующие начальные и граничные условия. Начальные и граничные условия выбираются исходя из конкретной физической задачи. Пусть, например, электрон движется слева направо с некоторым средним импульсом p0. Кроме того, в начальный момент времени t=0, электрон локализован в некоторой области пространства xm-d < x < xm+d. Здесь xm – центр области локализации электрона, а d – эффективная полуширина этой области. В этом случае начальное условие будет выглядеть следующим образом:
Здесь Y0(x) – волновая функция в начальный момент времени. Волновая функция это комплексная функция, поэтому графически удобно представлять не саму волновую функцию, а плотность вероятности. Плотность вероятности, нахождения электрона в данном месте в данный момент времени выражается через волновую функцию следующим образом:
Заметим, что вероятности должна быть нормирована на единицу. Отсюда получаем условие нормировки волновой функции:
Распределение плотности вероятности в начальный момент времени
можно изобразить графически. На Рис.3. показано возможное расположение электрона в начальный момент времени.
Рис.3. Расположение электрона в момент t=0.
Из этого рисунка видно, что с наибольшей вероятностью электрон находится в точке xm. Буквой A будем обозначать амплитуду (максимальное значение) распределения вероятности. Из этого рисунка так же видно, как определяется ширина 2d или полуширина d распределения. Если распределение имеет экспоненциальный или гауссов характер, то ширину распределения определяют на уровне в e раз меньшем, чем максимальное значение. На Рис.3. показан вектор среднего импульса электрона. Это означает, что электрон движется справа налево, и распределение вероятности так же будет перемещаться справа налево. На Рис.2. показано распределение вероятности в три последовательных момента времени. На Рис.2. видно, что максимум распределения xm(t) перемещается слева направо. На Рис.2. можно заметить, что движение электрона справа налево сопровождается деформацией распределения плотности вероятности. Амплитуда A (t) уменьшается, а полуширина d(t) растет. Все указанные детали движения электрона можно получить, если решить уравнение Шредингера (B4) с начальным условием (B.5). Резюме. В зависимости от постановки физической задачи может меняться вид уравнения Шредингера. При исследовании тех или иных физических явлений, описываемых уравнением Шредингера, выбираются нужные начальные и граничные условия для нахождения решения уравнения Шредингера.
Стационарные решения уравнения Шредингера.
Если электрон движется в постоянном по времени внешнем поле, то его потенциальная энергия не будет зависеть от времени. В этом случае одним из возможных решений уравнения Шредингера (B.4) является решение с разделяющимися переменными по времени t и по координате x. Применяем известный в математике прием решения дифференциальных уравнений. Ищем решение уравнения (B.4) в виде:
Подставляем (B.9) в уравнение (B.4) и получаем следующие соотношения:
Здесь E – константа, которой в квантовой механике придается смысл полной энергии электрона. Соотношения (B.10) эквивалентны следующим двум дифференциальным уравнениям:
Первое уравнение в системе (B.11) имеет следующее общее решение:
Здесь C – произвольная константа. Подставляем (B.12) в выражение (B.9) и получаем решение уравнения Шредингера (B.4) в виде:
где функция y (x) удовлетворяет уравнению.
Константа C содержится в функции y (x). Решение уравнения Шредингера (B.4) в виде выражения (B.13), называется стационарным решением уравнения Шредингера. Уравнение (B.14) называют стационарным уравнение Шредингера. Функцию y (x) называют волновой функцией, независящей от времени. Состояние электрона, которое описывается волной функцией (B.13), называется стационарным состоянием. В квантовой механике утверждается, что в стационарном состоянии электрон обладает определенной энергией E. Полученные результаты можно обобщить на уравнение Шредингера (B.1) для трехмерного движения электрона. Если оператор Гамильтона Ĥ не зависит явно от времени, то одним из возможных решений уравнения Шредингера (B.1) является стационарное решение следующего вида:
где волновая функция
Заметим, что уравнения (B.14) и (B.16) в квантовой механике имеют еще оно название. Эти уравнения являются уравнениями на собственные функции и собственные значения оператор
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|