Метод элементарных преобразований
ПП 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И Матрицы
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
1. Виды матриц
Матрицей размерности
называется прямоугольная таблица чисел
:
,
Частные виды матриц
- квадратная нулевая,
- матрица-строка,
- матрица-столбец,
- квадратная диагональная,
- верхняя треугольная,
- единичная.
-т ранспонированная,
,
- главная и побочная диагонали.
2. Операции над матрицами
Равенство
.
Сумма
;
.
Умножение на число
;
,
,
.
Произведением матрицы
размерности
на матрицу
размерности
называется матрица
размерности
, элементы которой вычисляются по формуле:
,
.

Иначе: элемент, стоящий на пересечении i- й строки и j- го столбца матрицы произведения
, равен сумме произведений элементов i- й строки матрицы А на соответствующие элементы j- го столбца матрицы В.

Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
В общем случае A´B¹B´A, если A´B=B´A, то матрицы перестановочные (коммутирующие).
Свойства:
(A ´ B) ´ C = A ´ (B ´ C) (A ´ B) ´ C = A ´ (B ´ C).
(A + B) ´ C = A ´ C + B ´ C.
A ´ (B + C) = A ´ B + A ´ C.
A ´ E = E ´ A = A.
A ´ Æ = Æ ´ A = Æ.
(A ´ B)PT P= B P T P´ A PTP.
.
Элементарные преобразования матриц:
§ транспонирование;
§ перестановка строк (столбцов);
§ умножение строки (столбца) на число
;
§ прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число;
§ отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.
3. Обратная матрица.
Квадратная матрица
n –го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю,
, и невырожденной, если
.
Матрица А P-1P называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение:
.
Основные методы вычисления обратной матрицы
Метод присоединенной матрицы
Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.
Если матрица
не вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица
, равная
, где
- присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы).
1˚.
.
2˚.
.
3˚.
.
4˚.
.
Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы:
1. Находим
, проверяем
.
2. Находим
- все миноры матрицы
.
3. Определяем
.
4. Строим матрицу алгебраических дополнений
и транспонируем:
.
5. Делим каждый элемент матрицы на
:
.
Метод элементарных преобразований
Для невырожденной матрицы А n -го порядка построим прямоугольную матрицу
размера
, приписывая к А справа единичную матрицу. Используя элементарные преобразования над строками, приводим эту матрицу к виду
.
4. Решение матричных уравнений

Если
,
- известные матрицы, а
– неизвестная, то равенство вида
называется матричным уравнением.
Основные типы матричных уравнений:
1.
. Матрица
должна быть квадратной,
. Умножим уравнение на
слева:
,
,
.
2.
. Матрица
должна быть квадратной,
. Умножим уравнение на
справа:
.
3.
. Матрицы
и
должны быть квадратными,
,
. Умножим на
слева:
. Умножим на
справа:
.
5. Ранг матрицы.
Пусть в матрице
размерности
выбраны
строк и
столбцов, причем
. Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу
-го порядка. Определитель
этой матрицы называется минором
-го порядка матрицы
.
Рангом матрицы
называется число, равное максимальному по рядку
отличных от нуля миноров
этой матрицы:
.
Матрицы называются эквивалентными, что обозначается
, если
.
Ранг матрицы
вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице
элемент
, тогда
и
. Окаймляем этот элемент элементами
-го столбца и
- й строки, получаем минор 2-го порядка:

Если
, то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то
; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то
.
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка
и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие:
, но все
.
Метод элементарных преобразований
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
Для определения ранга матрицы
методом элементарных преобразований следует:
1. Переставить строки так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.
2. Все элементы первого столбца, кроме
, обратить в ноль:
.
3. Повторить операцию со второй строкой: во втором столбце должен быть ненулевой элемент, после чего все элементы второго столбца, кроме
и
, обратить в ноль.
Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:
.
Тогда ранг матрицы
=
.
ПП 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И Матрицы
|
№ п/п
| Задание
| Ответ
|
TUПП 2.№1.UT
| Найдите .
Решение: .
|
|
TUПП 2.№2.
| Найдите .
Решение: .
|
|
ПП 2. № 3.
| Найдите 3 А +2 В, если
Решение: .
|
|
ПП 2. № 4.
| Найдите С = А ´ В, если
Решение: Размерность матрицы А (2´3), размерность матрицы В (3´2), число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, в результате получится матрица С, размерность которой (2 ´ 3).
, , , .
.
|
|
ПП 2. № 5.
| Найдите С = А´ В,
если , .
Решение: , , , , , .
|
|
ПП 2. № 6.
| Найдите А´ В,
если , .
Решение:
.
(размерность матрицы C ).
|
|
ПП 2. № 7.
| Найдите А´В и В´А,
если
Решение: ,
.
| ,
.
|
ПП 2. № 8.
| Найдите все матрицы, перестановочные с данной .
Решение: Запишем вторую матрицу в виде и найдем произведения и : , .
где и – произвольные числа.
|
|
ПП 2. № 9.
| Найдите матрицу, обратную для матрицы .
Решение:
1) .
2) .
3) .
4) , .
5) .
Проверка:
|
|
ПП 2.№10.
| Методом присоединенной матрицы найдите матрицу, обратную к матрице
.
Решение:
1) Находим , проверяем :
.
2) Находим - все миноры матрицы :
3) Определяем : , , , , , , , , .
4) Строим матрицу алгебраических дополнений и транспонируем ее:
,
.
5) Делим каждый элемент матрицы на : : .
|
|
ПП 2.№11.
| Методом элементарных преобразований строк найдите матрицу, обратную к матрице .
Решение: Составляем и преобразуем вспомогательную матрицу : .
|
|
ПП 2.№12.
| Решите матричное уравнение , где .
Решение: Вычислим , значит, матрица A – невырожденная. Построим матрицу A P–1 P, обратную матрице A, двумя способами. 1) Метод присоединенной матрицы:
. 2) Метод элементарных преобразований строк: . Записываем решение матричного уравнения:
= .
|
|
ПП 2.№13.
| Решите матричное уравнение , где , , , .
Решение:
Запишем уравнение в виде .
Умножим уравнение слева на и справа на : , , тогда .
Найдем ; Вычислим и . , . ,
.
Тогда .
|
|
ПП 2.№14.
| Найдите ранг матрицы .
Решение: ; , , ; .
|
|
ПП 2.№15.
| Вычислите ранг матрицы методом элементарных преобразований.
Решение: , rang A = 2.
|
|
ПП 2.№16.
| Вычислите ранг матрицы .
Решение:
. В левом верхнем углу матрицы стоит определитель треугольного вида, который равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали , значит ранг матрицы равен четырем.
|
|
Воспользуйтесь поиском по сайту: