 |
Метод элементарных преобразований
|
|
|
|
ПП 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И Матрицы
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
1. Виды матриц
Матрицей размерности 
называется прямоугольная таблица чисел 
:
,
Частные виды матриц
- квадратная нулевая, 
- матрица-строка,
- матрица-столбец, 
- квадратная диагональная,
- верхняя треугольная, 
- единичная.
-т ранспонированная,
, 
- главная и побочная диагонали.
2. Операции над матрицами
Равенство 
.
Сумма 
; 
.
Умножение на число 
;
, 
, 
.
Произведением матрицы 
размерности 
на матрицу 
размерности 
называется матрица 
размерности 
, элементы которой вычисляются по формуле:
, 
.
Иначе: элемент, стоящий на пересечении i- й строки и j- го столбца матрицы произведения 
, равен сумме произведений элементов i- й строки матрицы А на соответствующие элементы j- го столбца матрицы В.
Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
В общем случае A´B¹B´A, если A´B=B´A, то матрицы перестановочные (коммутирующие).
Свойства:
(A ´ B) ´ C = A ´ (B ´ C) (A ´ B) ´ C = A ´ (B ´ C).
(A + B) ´ C = A ´ C + B ´ C.
A ´ (B + C) = A ´ B + A ´ C.
A ´ E = E ´ A = A.
A ´ Æ = Æ ´ A = Æ.
(A ´ B)PT P= B P T P´ A PTP.
.
Элементарные преобразования матриц:
§ транспонирование;
§ перестановка строк (столбцов);
§ умножение строки (столбца) на число 
;
§ прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число;
§ отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.
3. Обратная матрица.
Квадратная матрица 
n –го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, 
, и невырожденной, если 
.
Матрица А P-1P называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение: 
.
|
|
|
Основные методы вычисления обратной матрицы
Метод присоединенной матрицы
Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.
Если матрица 
не вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица 
, равная 
, где 
- присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы).
1˚. 
.
2˚. 
.
3˚. 
.
4˚. 
.
Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы:
1. Находим 
, проверяем 
.
2. Находим 
- все миноры матрицы 
.
3. Определяем 
.
4. Строим матрицу алгебраических дополнений и транспонируем: 
.
5. Делим каждый элемент матрицы на : 
.
Метод элементарных преобразований
Для невырожденной матрицы А n -го порядка построим прямоугольную матрицу 
размера 
, приписывая к А справа единичную матрицу. Используя элементарные преобразования над строками, приводим эту матрицу к виду 
.
4. Решение матричных уравнений
Если , 
- известные матрицы, а 
– неизвестная, то равенство вида 
называется матричным уравнением.
Основные типы матричных уравнений:
1. 
. Матрица 
должна быть квадратной, 
. Умножим уравнение на слева: 
, 
, 
.
2. 
. Матрица должна быть квадратной, . Умножим уравнение на справа: 
.
3. 
. Матрицы и 
должны быть квадратными, , 
. Умножим на слева: 
. Умножим на 
справа: 
.
5. Ранг матрицы.
Пусть в матрице размерности выбраны 
строк и столбцов, причем 
. Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу -го порядка. Определитель 
этой матрицы называется минором -го порядка матрицы .
Рангом матрицы называется число, равное максимальному по рядку 
отличных от нуля миноров 
этой матрицы:
.
Матрицы называются эквивалентными, что обозначается 
, если 
.
Ранг матрицы вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
|
|
|
Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице элемент 
, тогда 
и 
. Окаймляем этот элемент элементами 
-го столбца и 
- й строки, получаем минор 2-го порядка:
Если 
, то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то 
; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то 
.
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка 
и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: 
, но все 
.
Метод элементарных преобразований
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
Для определения ранга матрицы методом элементарных преобразований следует:
1. Переставить строки так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.
2. Все элементы первого столбца, кроме 
, обратить в ноль:
.
3. Повторить операцию со второй строкой: во втором столбце должен быть ненулевой элемент, после чего все элементы второго столбца, кроме 
и 
, обратить в ноль.
Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:
.
Тогда ранг матрицы = 
.
| ПП 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И Матрицы | ||
| № п/п | Задание | Ответ |
| TUПП 2.№1.UT | Найдите  .
Решение:  .
| 
|
| TUПП 2.№2. | Найдите  .
Решение:  .
| 
|
| ПП 2. № 3. | Найдите 3 А +2 В, если 
Решение:  .
| 
|
| ПП 2. № 4. | Найдите С = А ´ В, если 
Решение: Размерность матрицы А (2´3), размерность матрицы В (3´2), число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, в результате получится матрица С, размерность которой (2 ´ 3).
 ,  ,  ,  .
 .
| 
|
| ПП 2. № 5. | Найдите С = А´ В,
если  ,  .
Решение:  ,  ,  ,  ,  ,  .  
| 
|
| ПП 2. № 6. | Найдите А´ В,
если  ,  .
Решение:
 .
(размерность матрицы C  ).
| 
|
| ПП 2. № 7. | Найдите А´В и В´А,
если 
Решение:  ,
 .
|  ,
 .
|
| ПП 2. № 8. | Найдите все матрицы, перестановочные с данной  .
Решение: Запишем вторую матрицу в виде  и найдем произведения  и  :  ,  . 
где  и  – произвольные числа.
| 
|
| ПП 2. № 9. | Найдите матрицу, обратную для матрицы  .
Решение:
1)  .
2)  .
3)  .
4)  ,  .
5)  .
Проверка:
| 
|
| ПП 2.№10. | Методом присоединенной матрицы найдите матрицу, обратную к матрице
 .
Решение:
1) Находим  , проверяем : 
 .
2) Находим - все миноры матрицы :  
   
 
3) Определяем :  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  .
4) Строим матрицу алгебраических дополнений и транспонируем ее:
 ,
 .
5) Делим каждый элемент матрицы на : :  .
| 
|
| ПП 2.№11. | Методом элементарных преобразований строк найдите матрицу, обратную к матрице  .
Решение: Составляем и преобразуем вспомогательную матрицу  :    .
| 
|
| ПП 2.№12. | Решите матричное уравнение  , где  .
Решение: Вычислим  , значит, матрица A – невырожденная. Построим матрицу A P–1 P, обратную матрице A, двумя способами. 1) Метод присоединенной матрицы:
 . 2) Метод элементарных преобразований строк:  . Записываем решение матричного уравнения: 
=  .
| 
|
| ПП 2.№13. | Решите матричное уравнение  , где  ,  ,  ,  .
Решение:
Запишем уравнение в виде  .
Умножим уравнение слева на  и справа на  :  ,  , тогда  .
Найдем  ; Вычислим и .    ,  .  ,
 .
Тогда  .
| 
|
| ПП 2.№14. | Найдите ранг матрицы  .
Решение:  ;  ,  ,  ;  .
| |
| ПП 2.№15. | Вычислите ранг матрицы  методом элементарных преобразований.
Решение:       , rang A = 2.
| |
| ПП 2.№16. | Вычислите ранг матрицы  .
Решение:         
     . В левом верхнем углу матрицы стоит определитель треугольного вида, который равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали  , значит ранг матрицы равен четырем.
|
|
|
|
|
|
|
