 |
Проверка гипотез о равенстве генеральных дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей.
|
|
|
|
Такая задача на практике возникает при необходимости сравнить точность двух приборов или методик исследования. Дисперсия характеризует разброс значений признака относительно генеральной средней. Чем меньше разброс результатов измерений, тем более точен прибор или метод.
Применяется F-критерий Фишера - Снедекора. В качестве критерия используется случайная величина 
, имеющая распределение Фишера – Снедекора (в случае истинности гипотезы 
). 
- большая из исправленных выборочных дисперсий, а 
- меньшая из исправленных выборочных дисперсий. Значение 
находится по таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора, зависит от уровня значимости 
и степеней свободы 
и 
.
· - это число степеней свободы той выборки, у которой больше исправленная выборочная дисперсия, 
.
· - это число степеней свободы той выборки, у которой исправленная выборочная дисперсия меньше, 
.
Порядок проверки гипотезы:
1) выдвигаем гипотезы: 
;
2) вычисляем наблюдаемое значение критерия: 
;
3) по таблице критических точек находим 
;
4) сравниваем 
и 
(критерий двусторонний, но рассматривается как правосторонний).
Если 
, то нулевую гипотезу отвергаем, принимаем конкурирующую. Значит, генеральные дисперсии не равны, выборочные дисперсии различаются значимо.
Если 
, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Значит, генеральные дисперсии равны, выборочные дисперсии различаются незначимо.
Если в исследовании необходимо доказать, что одна из дисперсий больше другой, то гипотезы выдвигаются следующим образом: 
. В этом случае значение вычисляется по той же формуле, находится также по таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора, но зависит от , а не от 
(
). Выбор между гипотезами и 
осуществляется таким же образом, как в предыдущем случае.
|
|
|
Замечание:
Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних нормально распределенных генеральных совокупностей.
Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних имеет важное практическое значение. Часто возникает ситуация, когда средний результат одной серии испытаний отличается от среднего результата другой серии испытаний. Возникает вопрос, можно ли различие средних объяснить случайной ошибкой эксперимента или оно обусловлено некоторыми закономерностями, воздействием некоторого фактора.
Проверка данной гипотезы осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Критерий используется чаще всего в том случае, когда нужно проверить влияние какого-либо фактора на исследуемую величину.
ü Если различие между выборочными средними статистически значимо, то фактор оказывает влияние на исследуемую величину.
ü Если различие между средними незначимо, то фактор не оказывает влияния на исследуемую величину, различие между выборочными средними обусловлено воздействием случайных причин.
Применение t-критерия Стьюдента возможно как для зависимых, так и для независимых выборок.
Две независимые выборки.
В этом случае используется t-критерий Стьюдента для независимых выборок.
Проверка гипотезы осуществляется следующим образом:
1) выдвигаем гипотезы: 
(критерий имеет двустороннюю критическую область);
2) вычисляем наблюдаемое значение критерия по формуле:
;
3) по таблице критических точек распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) находим 
, где - уровень значимости, 
- число степеней свободы, 
.
4) сравниваем 
и 
, учитывая, что критерий двусторонний:
Если 
, то
Если 
,
Замечание:
Две зависимые выборки.
В этом случае используется t-критерий Стьюдента для зависимых выборок.
|
|
|
В зависимых выборках сравнение величин 
и 
осуществляется с помощью величины 
, являющейся разностью между величинами и (
).
Проверка гипотезы осуществляется следующим образом:
1) выдвигаем гипотезы: 
, данные гипотезы соответствуют гипотезам . При таком виде конкурирующей гипотезы критерий будет иметь двустороннюю критическую область.
2) вычисляем наблюдаемое значение критерия по формуле: 
, где 
- вычисленная выборочная средняя ряда разностей, 
- стандартное отклонение ряда разностей, 
- объем выборки (зависимые выборки всегда имеют одинаковый объем, то есть 
).
3) по таблице критических точек распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) находим , где - уровень значимости, - число степеней свободы, 
.
4) сравниваем и .
Если , то гипотеза отвергается, принимается гипотеза , следовательно, выборочные средние различаются значимо, генеральные средние в исследуемых совокупностях не равны между собой.
Если , то нет оснований отвергать гипотезу , следовательно, выборочные средние различаются незначимо, генеральные средние в исследуемых совокупностях равны.
Замечание:
Задача 1. Изучалось влияние тренировок на скорость сенсомоторной реакции спортсменов (в миллисекундах). Для этого случайным образом было отобрано 10 спортсменов. В таблице приведены значения изучаемого показателя до проведения тренировок и после них:
| До тренировок | ||||||||||
| После тренировок |
Установлено, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей. Можно ли утверждать, что тренировки оказывают влияние на скорость сенсомоторной реакции спортсменов?
Решение: Так как выборки зависимы, извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, решим задачу с помощью t – критерия Стьюдента для зависимых выборок.
1 этап. Предварительная статистическая обработка данных. Вычислим 
для всех столбцов таблицы.
| № | ||||||||||
| до | ||||||||||
|
|
|
Вычислим числовые характеристики выборки:
2 этап. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних.
а) выдвигаем гипотезы: 
.
б) наблюдаемое значение критерия: 
;
в) по таблице критических точек распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) находим
г) , следовательно, гипотезу отвергаем, принимаем 
. Следовательно, генеральные средние не равны, выборочные средние различаются статистически значимо. Значит, при 
можно считать, что тренировки оказывают влияние на скорость сенсомоторной реакции спортсменов.
Вывод: При можно считать, что тренировки оказывают влияние на скорость сенсомоторной реакции спортсменов.
Задача 2. Изучалось влияние нового железосодержащего препарата на уровень гемоглобина при железодефицитной анемии. Контрольную группу составили пациенты, получавшие традиционный препарат, опытную – получавшие новый препарат. Результаты приведены в таблице.
| Контрольная группа | 98, 82, 93, 105, 98, 93, 101, 101, 93, 98 |
| Опытная группа | 98, 105, 108, 112, 98, 108, 112, 112 |
Можно ли при по результатам исследования сделать вывод, что исследуемый препарат вызывает повышение уровня гемоглобина в крови больных железодефицитной анемией. Установлено, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей.
Решение: Так как выборки независимы, извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, применим t-критерий Стьюдента для независимых выборок.
1 этап. Предварительная статистическая обработка данных.
2 этап. Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий.
а) выдвигаем гипотезы:
б) наблюдаемое значение критерия:
в) по таблице критических точек находим
г) , следовательно, нет оснований отвергать гипотезу , генеральные дисперсии равны. Значит, можно применять t-критерий Стьюдента.
3 этап. Проверим гипотезу о равенстве генеральных средних.
а) выдвигаем гипотезы:
б) наблюдаемое значение критерия:
в) по таблице критических точек распределения Стьюдента (односторонняя критическая область) находим
|
|
|
г) , следовательно, гипотезу отвергаем, принимаем 
. Следовательно, генеральные средние не равны, выборочные средние различаются значимо. Это различие обусловлено действием фактора. Значит, при можно считать, что исследуемый препарат вызывает повышение уровня гемоглобина в крови больных железодефицитной анемией.
Вывод: При можно считать, что исследуемый препарат вызывает повышение уровня гемоглобина в крови больных железодефицитной анемией.
|
|
|
