Для сжимаемого идеального газа

(постоянна вдоль линии тока или линии вихря)

 

где

– адиабатическая постоянная газа

p – давление газа в точке

ρ – плотность газа в точке

v – скорость течения газа

g – ускорение свободного падения

h – высота относительно начала координат

При движении в неоднородном поле gz заменяется на потенциал гравитационного поля.

Термодинамика закона Бернулли

Выведем закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений.

1. Запишем Уравнение Эйлера:

 

φ – потенциал. Для силы тяжести φ= gz

2. Запишем выражение для энтальпии и предположим, что энтропия системы постоянна (или, можно сказать, что течение адиабатично):

dW = VdP + TdS

 

Пусть S = const и w – энтальпия единицы массы, тогда:

 

 или   

 

3. Воспользуемся следующими соотношениями из векторной алгебры:

 

– проекция градиента на некоторое направление равно производной по этому направлению.

4. Уравнение Эйлера с использованием соотношений выведенных выше:

 

 

Спроецируем это уравнение на единичный вектор касательный к линии тока, учитывая следующее:

– условие стационарности

– так как

Получаем:

 

 

То есть на линиях тока в стационарной адиабатической жидкости выполняется следующее соотношение:

 

Лемниската Бернулли

Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2 c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

· в прямоугольных координатах:

 

 

· в полярных координатах

·

 

Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

 

,

 

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства.

1. Лемниската – кривая четвёртого порядка.

2. Она имеет две оси симметрии: прямая, на которой лежит F ₁ F ₂, и серединный перпендикуляр этого отрезка, в простейшем (данном) случае – ось OY.

3. Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.

4. Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

5.

 

6. Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра (оси OY в данном случае) равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.

7. Касательные в двойной точке составляют с отрезком F ₁ F ₂ углы .

8. Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

9. Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.

10. Для представления в полярных координатах, верно следующее

a. Площадь полярного сектора , при :

b. В частности, площадь каждой петли .

c. Радиус кривизны лемнискаты есть

Построение лемнискаты

· с помощью трёх отрезков

Это один из наиболее простых и быстрых способов, однако требует наличия дополнительных приспособлений.

На плоскости выбираются две точки – A и B – будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба – C и D). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: AC = BD = , CD = AB. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

· при помощи секущих (способ Маклорена)

Строится окружность радиуса с центром в одном из фокусов. Из середины O фокусного отрезка строится произвольная секущая OPS (P и S – точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки OM ₁ и OM ₂, равные хорде PS. Точки M ₁, M ₂ лежат на разных петлях лемнискаты.

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли (названо в честь Иоганна) утверждает: если , то

 

 

Доказательство проводится методом математической индукции по n. При n = 0 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

 

, ч.т.д.

Примечания:

· Неравенство справедливо также для вещественных  (при )

· Неравенство также справедливо для  (при ), но указанное выше доказательство по индукции в случае не работает.

Распределение Бернулли

Распределение Бернулли (названо в честь Якоба) моделирует случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.

Случайная величина X имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: 1 и 0 с вероятностями p и соответственно. Таким образом:

P (X = 1) = p

P (X = 0) = q

 

Принято говорить, что событие { X = 1 } соответствует «успеху», а { X = 0 } «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

E[X] = p,

D[X] = pq.

 

Вообще, легко видеть, что

E [ ] = p .

Числа и многочлены Бернулли

Числа Бернулли – последовательность рациональных чисел B ₀, B ₁, B ₂,… найденная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:

 

Для чисел Бернулли существует следующая реккурентная формула:            

Первые четырнадцать чисел Бернулли равны:

 

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	1			0		0		0		0		0		0

Свойства

· Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме B ₁, равны нулю, знаки B _{2 n} чередуются.

· Числа Бернулли являются значениями при x = 0 многочленов Бернулли , и равны: B_n = B_n (0).

Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числа Бернулли. Например:

· Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

·

,

·

·

 

· Эйлер указал на связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2 m:

 

Из чего следует

B_n = − n ζ (1 − n) для всех n.

 

·

 

 

Список литературы

 

1. Белл Э.Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979.

2. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Биографический справочник. Киев: Наукова думка, 1983.

3. История математики. Под редакцией Юшкевича А.П. в трёх томах. Том 3 Математика XVIII столетия. М.: Наука, 1972.

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: