 |
Поворотный пункт в истории античной математики
|
|
|
|
Введение
Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н.э. и V веком н.э.
Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов. Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули дерзкий тезис "Числа правят миром". Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: "Природа разговаривает с нами на языке математики".
Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже - механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи.
Создание новых и дальнейшее развитие существующих математических теорий связано обычно с уточнением (обобщением) их исходных основных понятий и посылок и основанных на них методов. Математики нередко встречались с трудностями, преодолеть которые им удавалось только после продолжительных поисков.
Глава I. Школа пифагорейцев
Развитие математики как теории
Математика как теория получила развитие в школе Пифагора (571-479 гг. до н.э.).
Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию - открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.
Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста.
|
|
|
Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга.
Наличие у пифагорейцев учения о параллельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно.
Успехи пифагорейцев в стереометрии были значительными. Они занимались изучением свойств шара, открыли построение четырех правильных многоугольников - тетраэдра, куба, октаэдра и додекаэдра (икосаэдр исследовал впоследствии Геэтет).
Однако они не смогли обосновать утверждения, относящиеся к объемам тел (пирамиды, конуса, цилиндра и шара), хотя, конечно, эти утверждения были установлены эмпирически много веков раньше. Не знали пифагорейцы и отношения поверхности шара к большому кругу. В области арифметики пифагорейцы изучали свойства четных и нечетных, простых и составных натуральных чисел, искали совершенные числа, т.е. такие, которые равны сумме всех своих делителей (например, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14).
Пифагорейцы знали также дробные числа и в этой связи разработали теорию арифметической и геометрической пропорций. Они владели понятиями среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического.
Поворотный пункт в истории античной математики
Как ни велики заслуги пифагорейцев в развитии содержания и систематизации геометрии и арифметики, однако все они не могут сравниться со сделанным ими же открытием несоизмеримых величин. Это открытие явилось поворотным пунктом в истории античной математики.
|
|
|
По поводу этого открытия Аристотель говорил, что Пифагор показал, что если бы диагональ квадрата была бы соизмерима с его стороной, то четное равнялось бы нечетному.
Это замечание Аристотеля ясно показывает, что при доказательстве несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной Пифагор использовал метод от противного.
В конце V века до н.э. Феодор из Кирены установил, что несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной не является исключением. Он показал, что стороны квадратов, площади которых равны 3, 5, 6, …, 17 несоизмеримы со стороной единичного квадрата. Пифагор учил, что сущность всех вещей есть число; число - сами вещи; гармония чисел - гармония самих вещей. Аристотель говорил, что у пифагорейцев числа принимались за начало и в качестве материи и в качестве [выражения для] их состояния и свойств.
Открытие несоизмеримых величин сначала “вызвало удивление" (Аристотель). Это естественно: до открытия Пифагора древнегреческие математики считали, что любые два отрезка имеют общую меру, хотя, может быть, и очень малую. Когда, однако, пифагорейцы убедились, что доказательство существования несоизмеримых величин безупречно, они поняли, что их философия оказалась в затруднительном положении.
Пифагорейцы знали только положительные целые и дробные числа. Следуя своей философской установке, они, по сути дела, считали, что каждая вещь может быть охарактеризована положительным целым или дробным числом, которое “выражает сущность” этой вещи. На деле это означало, что геометрия строилась на базе арифметики. Открытие несоизмеримых отрезков знаменовало, поэтому начало кризиса пифагорейской философии и методологических основ развиваемой ими системы математики. После обнаружения существования несоизмеримых величин перед пифагорейцами открылись две возможности. Можно было попытаться расширить понятие числа за счет присоединения к рациональным числам чисел иррациональных, охарактеризовать несоизмеримые величины числами иной природы и таким образом восстановить силу философского принципа “все есть число".
Однако этот путь столь естественный и простой с современной точки зрения, для пифагорейцев был закрыт. В этом случае надо было построить достаточно строгую арифметическую теорию действительных чисел, что при уровне пифагорейской математики было делом невыполнимым. Поэтому надо было идти по другому пути - по пути определенного пересмотра исходных принципов, например, принять, что геометрические объекты являются величинами более общей природы, чем дробные и целые числа, и пытаться строить всю математику не на арифметической, а на геометрической основе. Именно этот второй путь и избрали пифагорейцы, а вслед за ними большинство древнегреческих математиков, вплоть до Архимеда и Аполлония.
|
|
|
|
|
|
