Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Базовые преобразования в трехмерной области

Лучшим способом изучения формы объекта является помещение его в трехмерное пространство и выполнение операций вращения, масштабирования и построения его проекций. Распространим результаты для плоских изображений на трёхмерные изображения. Тогда точка Р в трехмерном пространстве в ОК представится вектором || x y z 1 || или при h¹1 для получения обычных трехмерных координат необходимо ОК нормализовать, т.е. разделить на h.

Преобразования в пространстве выполняются, как и для плоскости, а их усложнение связано с преобразованием произвольного поворота, которое выполняется комбинацией поворотов относительно трех осей.

Как и для плоскости определим матрицы основных преобразований.

Трехмерный перенос на вектор Т=|| t_x t_y t_z || в матричной форме запишется в виде Р^*=Р×М(Т), где

Трехмерное масштабирование на вектор Е (е_x, е_y, е_z) определяется как Р^*= Р×М(Е), где

Полное масштабирование относительно начала координат

Трехмерный сдвиг выполняют недиагональные элементы верхней левой подматрицы 3х3 в матрице преобразования 4х4, т.е.

Трехмерные вращения

Выделяются три основных вида вращения:

1. Вокруг координатных осей.

2. Вокруг осей, проходящих через начало координат.

3. Вокруг произвольных осей.

Вращение вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат.

Направление оси вращения, задаётся единичным вектором n=n₁i+n₂j+n₃k, где n₁=cosa, n₂=cosb, n₃=cosg (n₁, n₂, n₃ – направляющие косинусы).

Если ось вращения проходит через начало координат и точку А(x₁, y₁, z₁), то

Модель сферы, помещенной в пространство так, чтобы ось вращения проходила через начало координат, даёт следующую матрицу вращения:

Трехмерные вращения вокруг координатных осей являются частными случаями обобщенной матрицы вращения.

Трехмерные вращения вокруг координатных осей

Матрица поворота вокруг оси Х на угол Q получается из M(R(Q)) при n₁=1 и n₂=n₃=0:

Матрица поворота вокруг оси Y на угол Q получается из M(R(Q)) при n₂=1 и n₁=n₃=0:

Матрица поворота вокруг оси Z на угол Q получается из M (R(Q)) при n₃=1 и n₂=n₁=0:

В матричной форме рассмотренные преобразования для точки P(x,y,z) запишутся в виде

P*=P´M(R(X,Q)); P*=P·M(R(Y,Q)); P*=P·M(R(Z,Q)).

Вращения вокруг осей, проходящих через начало координат, обобщим на случай трехмерного вращения вокруг произвольной оси.

Вращение вокруг произвольной оси. Процедура заключается в переносе изображения вместе с осью вращения, так чтобы ось вращения проходила через начало координат, выполнении вращения и операции обратного переноса в исходное положение. Тогда если ось вращения проходит через точку А = || k m n 1 ||, то преобразованные координаты определяются следующим выражением: P* = P M(Т(-А)) M(R(Q)) M(T(А)), откуда

Таким образом, в матрице преобразования 4х4 для трехмерных ОК можно выделить 4 подматрицы.

Обобщённая матрица преобразований в ОК для трёхмерной области

Подматрица 3х3 реализует сдвиг, масштабирование, отображение и вращения. Подматрица 1х3 реализует перенос, а подматрица 3х1 преобразование в перспективе. Элемент s выполняет общее изменение масштаба. Влияние подматрицы 3х1 на преобразование изображения рассмотрим в разделе «Проективная геометрия».

Примеры решения типовых задач

Задача 1. Прямая проходит через точки А(5,3) и В(6,8). К прямой применяется ОКП, заданное матрицей с последующим проецированием на плоскость Н=1. Составить уравнение результирующей прямой.