 |
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
|
|
|
|
Вопросы к экзамену, 1-ый семестр, специальности ТЭ, ЗК, ПВ
Н.В. Сванидзе, четверг, 28 ноября 2013 г.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
1. Радиус-вектор и декартовы координаты точки в пространстве. Основные задачи на координаты точек в пространстве: I) определение расстояния между двумя точками; 2) деление отрезка прямой в данном отношении и, в частности, пополам.
2. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов на три взаимно перпендикулярные оси. Выражение длины вектора через скалярное произведение. Вычисление угла между двумя векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.
3. Задание плоскости в пространстве, ее направляющий вектор (вектор нормали). Уравнение плоскости в векторной и координатной формах. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
4. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов на три взаимно перпендикулярные оси. Условие коллинеарности двух векторов.
5. Задание прямой в пространстве, ее направляющий вектор. Уравнение пространственной прямой в векторно-параметрической форме. Параметрические и канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Линейная алгебра
1. Перестановки из 
целых чисел и их свойства Определители 2 – го и 3 – го порядков и их свойства. Определитель – го порядка как обобщение определителя второго порядка. Свойства определителя порядка .
2. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Разложение определителя по элементам ряда (теорема Лапласа).
|
|
|
3. Матрица и ее размеры. Равенство матриц. Сложение матриц и его свойства. Умножение матрицы на скаляр и его свойства. Соответственные матрицы. Умножение соответственных матриц и его свойства.
4. Матрица, союзная с данной квадратной матрицей. Матрица, обратная к данной квадратной матрице, и ее единственность.
5. Система линейных алгебраических уравнений (с прямоугольной, в частности, квадратной матрицей). Ее матричная запись. Решение системы. Совместная и несовместная система. Определенная и неопределенная система. Решение системы с неособенной квадратной матрицей (формула Крамера).
Математический анализ
Функция. Предел. Непрерывность
1. Вещественная функция одного вещественного аргумента. Её область определения и способы задания. Обратная функция. Сложная функция.
2. Предел функции. Теорема единственности существования предела. Основные теоремы о пределе функции (предел суммы, произведения и частного функций; предельный переход в неравенствах; предел сжатой функции).
3. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Принцип замены эквивалентных бесконечно малых на им эквивалентные. Основные виды эквивалентных бесконечно малых..
4. Непрерывность функции в точке. Классификация разрывов функции. Непрерывность суммы, произведения, частного и суперпозиции функций. Непрерывность функции на промежутке. Два основных свойства функции, непрерывной на замкнутом промежутке (Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши).
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
1. Задачи, приводящие к понятию производной (об угловом коэффициенте касательной и скорости при прямолинейном движении). Определение производной, её геометрический и механический смысл. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости функций и его недостаточность.
|
|
|
2. Теорема о линейном приближении функции. Дифференциал функции и его геометрическая трактовка.
3. Основные правила дифференцирования: постоянной, суммы, произведения и частного двух функций. Дифференцирование сложной (цепное правило).
4. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
5. Производные высших порядков. Дифференцирование функции, заданной в параметрическом виде..
6. Теоремы Коши и Лагранжа.Геометрический смысл Теоремы Лагранжа.
7. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида 
и 
.
8. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия возрастания, убывания и постоянства функции, дифференцируемой на промежутке.
9. Экстремум функции. Необходимое условие существования экстремума и его недостаточность. Достаточные условия существования экстремума функции (два варианта). Острый экстремум.
10. Асимптота кривой. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот кривой.
11. Выпуклость вверх и вниз кривой. Необходимые и достаточные условия выпуклости вверх и вниз кривой. Точка перегиба кривой. Необходимые и достаточные условия существования точки перегиба кривой.
|
|
|
