 |
Интегрирование дробно-рациональных функций.
|
|
|
|
Всякая рациональная функция 
есть дробь 
, где 
и 
многочлены соответственно n-ой и m-ой степени.
Если 
- дробь правильная.
Если 
- дробь неправильная. В этом случаи при интегрировании дроби сначала следует выделить целую часть (разделить на ), и тогда
, где 
- многочлен, который легко интегрируется, а 
- правильная дробь.
Пример:
1. 
, 
- правильные дроби.
2. 
- неправильная дробь, для интегрирования ее следует записать в виде 
;
3. 
- неправильная дробь, для интегрирования ее следует записать в виде 
(разделите “уголком” числитель данной дроби на знаменатель).
Задача интегрирования дробно-рациональной функции свелась к задаче интегрирования правильной дроби.
Раньше уже рассматривались некоторые частные случаи. Сделаем некоторые обобщения.
Интегралы вида 
и 
подстановкой 
сводятся к табличным.
Интегралы вида 
, 
, 
сводятся к табличному, выделив в знаменателе полный квадрат, подстановкой 
.
Для этого метода интегрирования понадобится еще известная теорема из алгебры.
Теорема. Если 
правильная рациональная дробь, знаменатель которой 
можно представить в виде произведения линейных и квадратичных множителей (с действительными коэффициентами), то эта дробь раскладывается на элементарные дроби:
, то
+ 
+ 
.
Пример:
Дробь 
- правильная.
Знаменатель 
.
Тогда
.
Коэффициенты A, B, C, D – пока неопределены. Большой любитель может их просто “подбирать”, но, понятно, в математике есть метод нахождения/вычисления этих коэффициентов. Он так и называется: метод неопределенных коэффициентов.
Сущность этого метода покажем на рассматриваемом примере.
В правой части равенства все три дроби приведем к общему знаменателю.
|
|
|
.
Констатируем: дроби равны; знаменатели этих дробей равны.
Значит, числители их тоже равны (в числителе правой дроби сделаны соответствующие тождественные алгебраические преобразования), т.е.
- 
.
Многочлены в левой и правой частях равенства равны, следовательно равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, т.е.
Решая полученную систему 4-х линейных алгебраических уравнений с 4-мя неизвестными A,B,C,D любым из известных многочисленных методов, получаем: 
.
А значит,
.
Интегрировать такую дробь уже легко:
= 
= 
.
Метод интегрирования также называется методом неопределенных коэффициентов.
Если интегрируется неправильная дробь, то, представив ее в виде суммы целой части (многочлена) и правильной дроби, процесс становится очевидным.
|
Пример:
1. 
.
2. 
.
Интегрирование тригонометрических функций.
В этом параграфе будем говорить об интегрировании функций, рационально определяющихся через тригонометрические функции sinx, cosx. Их принято записывать в виде 
.
Теорема. Интеграл
подстановкой 
преобразуется в интеграл от рациональной функции (рационализируется).
Доказательство этой теоремы основывается на известных формулах
, т.е., 
;
, т.е., 
;
а из равенства 
получаем 
.
И 
, т.е. интегрирование свелось к предыдущему методу.
Подстановка называется универсальной. Но не следует ею пользоваться во всех случаях, хотя она сработает во всех. Например, такие интегралы, как 
, 
, 
, 
и т.п., разумнее брать непосредственно.
Пример:
.
Практикум по разделу 5.2.
Задание 1. Пользуясь 
найти следующие неопределенные интегралы:
а) 
; а) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
Задание 2. Проинтегрировать методом подстановки:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
; и) 
;
к) 
; л) 
; м) 
;
н) 
; о) 
; п) 
.
|
|
|
Задание 3. Проинтегрировать методом интегрирования по частям:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
; и) 
;
к) 
; л) 
; м) 
;
н) 
; о) 
.
Задание 4. Проинтегрировать дробно-рациональные функции:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
; и) 
;
к) 
; л) 
; м) 
;
н) 
; о) 
.
Задание 5. Проинтегрировать тригонометрические функции:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
; и) 
;
к) 
; л) 
;
м) 
; н) 
; о) 
.
Задание 6. Проинтегрировать:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
;
е) 
; 
;
ж) 
; з) 
; и) 
;
к) 
; л) 
; м) 
;
н) 
; о) 
; п) 
;
р) 
; с) 
; т) 
;
у) 
.
*) Знак - стилизованная буква S, часто используемая для обозначения суммы.
*) Наизусть! Это легко, если были выучены наизусть табличные производные
|
|
|
