В) Задачи на построение осей (центров, плоскостей) симметрии или фигур имеющих оси (центры, плоскости) симметрии.

Пример 1. Начертите два угла, таких, что один из них может быть получен из другого с помощью центральной симметрии.

Пример 2. Отметьте три точки А, В, С. Дополните это множество четвертой точкой D так, чтобы фигура Ф = { A, B, C, D } имела а) центр симметрии; б) ось симметрии. Рассмотрите все возможные случаи.

Пример 3. Будет ли фигура, являющаяся объединением полосы и прямой, не принадлежащей ей, иметь центр симметрии? Рассмотрите все возможные случаи.

г) Задачи на создание новых образов пространственных объектов путем геометрических преобразований исходных.

Пример. В прямоугольнике ABCD мысленно проведите прямую АК (К – середина стороны ВС), представьте, что прямоугольник разрезан по ней и треугольник АВК повернут вокруг точки К так, что ВК и КС совместились. В какую фигуру превратиться прямоугольник?

При решении стереометрических задач, являющихся аналогами соответствующих им планиметрических, целесообразно от пространственной задачи перейти к плоскостной, заменяя в условии задачи пространственную фигуру на аналогичную ей плоскостную, и решив задачу на плоскости, снова перейти к пространственным фигурам.

IV. Упражнения на конструирование и моделирование
новых образов геометрических объектов

Задания данной группы предполагают выполнение мысленного или графического реконструирования и моделирования образ пространственных объектов.

Пример. Нарисуйте фигуру, получающуюся в пересечении двух равных цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом [Приложение ДАМ-3]?

В процессе решения таких задач осуществляется конструирование качественно новых пространственных образов и новых отношений между ними, формируются и совершенствуются умения мысленно преобразовывать исходный образ по форме, величине, пространственному положению, то есть, их решение требует активного оперирования пространственными образами и высокого уровня развития пространственных представлений и воображения.

Анализ заданий каждой из выделенных групп выявил присутствие всех трех видов оперирования пространственным образом, что позволило сделать вывод о том, что их использование будет активно способствовать развитию тех или иных умений, характеризующих как процесс создания, так и процесс оперирования образами геометрических объектов, а, следовательно, и повышению уровня развития пространственных представлений. Кроме того, они совершенствуют и некоторые общие умения, и навыки, например, способность к оперированию знаковой и графической символикой, навыки изображения пространственных объектов на плоскости, а также помогают обогащению и развитию математической речи обучаемых. Таким образом, совокупность данных упражнений можно рассматривать как одно из средств развития пространственных представлений учащихся в процессе изучения геометрии.

Методику формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи компьютерной анимации рассмотрим на примере изучения четырехугольной пирамиды.

1. Учащимся предъявляется модель правильной четырехугольной пирамиды, лучше, если этих моделей будет как можно больше (в идеале по одной каждому ученику). Можно предложить учащимся самим сформулировать определение правильной пирамиды, иначе определение даёт учитель. На этом можно считать шаг законченным, т.к. схема формирования пространственного образа полностью пройдена.

2. Учащимся предоставляется динамическая анимационная модель [Приложение ДАМ-7]. Снова называются ее основные элементы. Рассматривается каркасная модель пирамиды, обращается внимание на видимые и невидимые линии фигуры. Целесообразно рассматривать упражнения на исследование свойств геометрических объектов, например, следующих.

а) На рисунке изображена пирамида ABCDM где ABCD – квадрат, МО – перпендикуляр к плоскости основания. Е и К – середины сторон AD и CD соответственно. Укажите:

- плоскость, перпендикулярную диагонали АС (BD);

- плоскость, перпендикулярную стороне AD (DC) и содержащую вершину М;

- указать все пары взаимно перпендикулярных плоскостей;

- указать все имеющиеся пары взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых.

б) Может ли квадрат быть разверткой правильной четырехугольной пирамиды?

в) Основанием пирамиды является квадрат. Сколько граней могут быть прямоугольными треугольниками?

3. Может быть проведен разговор о способе построения пирамиды (исходя из определения), первый чертеж чертится на доске вместе с учителем. Начерченная фигура показывается на экране динамической анимационной моделью. Второй чертеж учащимся предлагается выполнить самостоятельно, но изобразить не произвольную пирамиду, а пирамиду, отображаемую на экране. Рассматриваются упражнения на изображение геометрических объектов.

А) Достройте изображение до четырехугольной пирамиды:

Б) Постройте пирамиду, среди граней которой есть два прямоугольных треугольника.

Можно рассмотреть упражнения на конструирование и моделирование новых образов геометрических объектов.

Какая фигура получиться в пересечении двух равных правильных четырехугольных пирамид, высоты которых совпадают, а вершина одной из пирамид является центром основания второй пирамиды? [Приложение ДАМ-10] Преимущество ДАМ перед обыкновенным чертежом заключается в том, что ДАМ позволяет показать все возможные случаи.