Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Тема 4. Показатели вариации

 

Задача 1. Имеются следующие результаты рабочих за смену:

Табельные номера рабочих                    
Количество изготовленных деталей                    

Вычислить: 1) среднюю выработку одного рабочего; 2) среднее линейное отклонение; 3) дисперсию; 4) коэффициент вариации.

1) Средняя выработка на одного рабочего может быть вычислена, как средняя арифметическая простая:

где – количество изготовленных деталей, п =_____ – общее число рабочих.

2) Среднее линейное отклонение вычисляется, как среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их среднего арифметического:

.

Составим вспомогательную таблицу для промежуточных расчётов:

 

Количество изготовленных деталей ()                    
                   
                   

Тогда:

3) Будем вычислять дисперсию, как . Составим ещё одну вспомогательную таблицу:

 

Количество изготовленных деталей ()                    
                   

Тогда

и дисперсия

 

4) Коэффициент вариации вычисляется, как отношение среднего квадратического отклонения к среднему ожидаемому значению и показывает степень отклонения получаемых результатов: .

Среднее квадратическое отклонение находим, как корень квадратный из дисперсии:

И искомый коэффициент вариации:

 

Задача 2. В фирме работают ____ бригад. Численность рабочих отдельных бригад составляет соответственно __________________________________ человек. Определите медиану численности рабочих в бригаде.

 

Решение. Составим ранжированный дискретный ряд. Наращивание суммы частот продолжаем до получения накопленной суммы частот, превышающей половину суммы частот ряда.

 

Численность рабочих в бригаде Частота Сумма накопленных частот
   
   
   
   
   
     
     
     
Итого    

В третьем столбце ненужное – зачеркнуть, а при необходимости – продолжить подсчёты.

В нашем примере сумма частот составила _______, её половина – ______. Накопленная сумма частот получилась равной ____. Варианта, соответствующая этой сумме, и есть медиана ряда: __________

Задача 3. Имеются следующие данные о средней часовой заработной плате (руб.) десяти рабочих: __________________________________________________________. Определить медиану средней часовой заработной платы рабочих.

Решение. Составим ранжированный дискретный ряд. Наращивание суммы частот продолжаем до получения накопленной суммы частот, превышающей половину суммы частот ряда.

 

Средняя часовая заработная плата (руб.) Частота Сумма накопленных частот
   
   
   
   
   
     
     
     
Итого    

В третьем столбце ненужное – зачеркнуть, а при необходимости – продолжить подсчёты.

В данном примере сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине суммы частот ряда, поэтому медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей:

Задача 4. Результаты сдачи экзамена по теории вероятностей в одной группе характеризуются следующими данными:

Оценка:        
Число студентов:        

 

Найдите модальный балл успеваемости студентов группы.

Решение. Для дискретных вариационных рядов модой является значение варианты с наибольшей частотой. Поэтому _______

 

Задача 5. Имеются данные об урожайности пшеницы в центнерах с 1 га:

Урожайность (цент. с 1 га) Посевная площадь (га)
   
   
   
   
   
   
   

Определить: 1) среднюю урожайность пшеницы способом моментов; 2) среднее линейное отклонение; 3) моду и медиану; 4) показать моду и медиану на гистограмме.

Решение. 1) Для вычисления среднего значения используем метод моментов. Составим вспомогательную таблицу, куда будем заносить:

- середины заданных интервалов, определяемые, как полусуммы от их границ: , где и - левая и правая граница i -го интервала соответственно;

- значения отклонений от условного нуля, за который принимаем моду дискретного ряда, составленного из середин интервалов;

- условные значения вариант, вычисляемые, как их отклонения от условного нуля, делённые на шаг h, вычисляемый, как разность между правой и левой границей интервала:

h = ________.

Метод моментов используется только в рядах с равными интервалами, у которых длина шага постоянна!

 

 


Урожайность (цент. с 1 га) Посевная площадь (га) середины интервалов отклонения от условного нуля условные значения вариант
         
         
         
         
         
         
         
         
Итого        

 

Средняя арифметическая взвешенная для условных вариант будет равна:

 

 

 

Окончательно среднюю урожайность пшеницы находим, умножив полученный результат на шаг h и прибавив моду :

 

2) Среднее линейное отклонение вычисляется, как среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их среднего арифметического:

.

Составим вспомогательную таблицу для промежуточных расчётов:

Урожайность (цент. с 1 га) Посевная площадь (га) середины интервалов отклонения вариант от среднего арифметического абсолютные значения отклонений
         
         
         
         
         
         
         
         
Итого        

Тогда:

3) Мода интервального ряда определяется следующим образом:

- по максимальному значению частоты находим модальный интервал (тот, в котором расположено значение моды): ________________;

- внутри модального интервала находим значения:

________ – нижняя граница модального интервала;

________ – величина модального интервала;

________ – частота модального интервала;

________ – частота интервала, предшествующего модальному;

________ – частота интервала, следующего за модальным.

- значение моды вычисляем по формуле:

 

 

Вычисляем медиану интервального ряда. Для этого:

- по накопленным частотам находим медианный интервал, который характеризуется тем, что его накопленная частота равна или превышает половину суммы всех частот ряда:

________________;

- внутри медианного интервала находим значения:

________ – нижняя граница медианного интервала;

________ – величина медианного интервала;

________ – частота медианного интервала.

fi = ______________________________________________________ – сумма частот;

= __________________________________________________– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

- значение медианывычисляем по формуле:

=

 

 

4) Строим гистограмму, демонстрирующую распределение урожайности пшеницы по посевной площади и отмечаем на ней моду и медиану.

 


Задача 6. Распределение рабочих по общему стажу работы составило:

Стаж работы (лет) Число рабочих
1 цех 2 цех
     
     
     
     
     
     
Итого:    

 

Вычислите: 1) среднюю из групповых дисперсий; 2) межгрупповую дисперсию; 3) общую дисперсию, используя правило сложения дисперсий.

Решение. Будем находить дисперсию двумя способами.Для упрощения расчётов построим вспомогательные таблицы, куда занесём середины интервалов, соответствующих стажу работы, их квадраты и прочие результаты промежуточных вычислений.

Стаж работы (лет) середины интервалов Число рабочих
1 цех () 2 цех ()
                 
                 
                 
                 
                 
                 
Итого:            
Групповые средние        

 

Стаж работы (лет) середины интервалов Число рабочих
1 цех () 2 цех ()
               
               
               
               
               
               
Итого:          

 

1) Рассчитаем групповые дисперсии. Очевидно, что сначала нам нужно найти средние арифметические по двум группам (обратите внимание, значения сумм у нас уже есть, в таблице!):

Тогда дисперсия для первой группы:

или

 

Как видим, результаты совпали.

 

Дисперсия для второй группы:

или

 

Результаты совпали.

 

Средняя из групповых дисперсий рассчитывается, как

2) Межгрупповую дисперсию найдём по формуле ,

где

Тогда

 

3) Общую дисперсию вычислим, используя правило сложения дисперсий:

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...