Уравнения, решаемые домножением на некоторую функцию обеих частей.

Иррациональные уравнения

Напомним, что иррациональными называются уравнения, в которых неизвестная величина содержится под знаком корня или в основании степени с рациональным показателем.

Следует хорошо понимать, что:

1. Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, т.е. подкоренное выражение определено только для неотрицательных значений, и сам корень принимает только неотрицательные значения;

2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения и в зависимости от знака подкоренного выражения могут принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения.

К основным методам решения иррациональных уравнений относятся:

­ Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

­ Замена неизвестного;

­ Домножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию;

­ Применение свойств функций входящих в уравнение.

Уравнения, решаемые возведением обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

При решении иррационального уравнения этим способом можно идти двумя путями:

I путь

1. Найти область определения уравнения

2. Выполнить преобразования, приводящие данное уравнение к равносильному рациональному

3. Найти множество решений уравнения учетом области определения

II путь

1. Выполнить преобразования данного уравнения, приводящие к уравнениям–следствиям

2. Найти корни уравнения–следствия

3. Выполнить проверку и записать ответ

Примеры:

(1)

, откуда

Проверка: а)

(верно), значит, - корень уравнения (1)

б)

(неверное равенство)

Ответ:

(2)

Обратим внимание, что левая часть уравнения представляет собой сумму корней третьей степени.

При возведении в 3-ю степень левой части уравнения удобно воспользоваться формулой (если надо возвести в третью степень разность корней, то формулой )

Воспользовавшись формулой, получим

, откуда

(т.к. )

Разделив почленно это уравнение на 9 и возведя еще раз обе части равенства в 3-ю степень получим

,

,

откуда и

Ответ: ,

 

(3)

 

Возведем обе части уравнения (3) в 6-ю степень;

Получим

-единственный корень уравнения

Ответ: .

 

Уравнения, решаемые с помощью учета свойств монотонности функции.

 

Рассмотрим уравнение (1)

 

Его область определения составляет луч (-3; +∞)

 

На этом множестве функция является монотонно возрастающей; значение равное 5, эта функция принимает не более, чем в одной точке. Очевидно, что - корень данного уравнения. Его единственность доказана выше.

Аналогично решается уравнение . Его область определения есть R, в левой части стоит возрастающая функция, которая обращается в 0 при .

 

Уравнения, решаемые с помощью исследования области определения.

Рассмотрим уравнения: (1)

(2)

Область определения уравнения (1) не содержит действительных чисел, значит, это уравнение не имеет корней.

Область определения уравнения (2) находится из решения системы

и составляет единственное число .

Проверим, является ли корнем уравнения (2):

(верно)

значит, - корень уравнения

Ответ:

Уравнения, решаемые с помощью учета свойств ограниченности входящих функций.

(1)

 

Заметим, что для

Имеем

(1’) (2’)

Значит, неравенство (1) выполняется при условии, когда

Из уравнения (2’) следует, что , и это значение удовлетворяет уравнению (1’)

Значит – корень уравнения (5)

Ответ:

Уравнения, решаемые с помощью учета области определения и множества значений входящих в уравнение функции

Решим уравнение:

Область определения уравнения:

Если , то

Итак, получили, что при функция имеет множество значений, не имеющих общих чисел с множеством значений функции

Вывод: решений нет

Ответ: Ø

 

Уравнения, решаемые домножением на некоторую функцию обеих частей.

Рассмотрим уравнение (1)

Умножим обе части уравнения на (при этом область определения данного уравнения не изменится)

Тогда уравнение (1) будет равносильно системе

Числа 1 и 2 удовлетворяют уравнению (1), значит, являются его корнями.

Ответ:

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: