Уравнения, решаемые домножением на некоторую функцию обеих частей.
Иррациональные уравнения Напомним, что иррациональными называются уравнения, в которых неизвестная величина содержится под знаком корня или в основании степени с рациональным показателем. Следует хорошо понимать, что: 1. Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, т.е. подкоренное выражение определено только для неотрицательных значений, и сам корень принимает только неотрицательные значения; 2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения и в зависимости от знака подкоренного выражения могут принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. К основным методам решения иррациональных уравнений относятся: Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень; Замена неизвестного; Домножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию; Применение свойств функций входящих в уравнение. Уравнения, решаемые возведением обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При решении иррационального уравнения этим способом можно идти двумя путями: I путь 1. Найти область определения уравнения 2. Выполнить преобразования, приводящие данное уравнение к равносильному рациональному 3. Найти множество решений уравнения учетом области определения II путь 1. Выполнить преобразования данного уравнения, приводящие к уравнениям–следствиям 2. Найти корни уравнения–следствия 3. Выполнить проверку и записать ответ Примеры:
![]() Проверка: а)
б)
Ответ:
Обратим внимание, что левая часть уравнения представляет собой сумму корней третьей степени.
При возведении в 3-ю степень левой части уравнения удобно воспользоваться формулой Воспользовавшись формулой, получим
Разделив почленно это уравнение на 9 и возведя еще раз обе части равенства в 3-ю степень получим
откуда Ответ:
Возведем обе части уравнения (3) в 6-ю степень; Получим
Ответ:
Уравнения, решаемые с помощью учета свойств монотонности функции.
Рассмотрим уравнение
Его область определения составляет луч (-3; +∞)
На этом множестве функция является монотонно возрастающей; значение равное 5, эта функция принимает не более, чем в одной точке. Очевидно, что Аналогично решается уравнение
Уравнения, решаемые с помощью исследования области определения. Рассмотрим уравнения:
Область определения уравнения (1) не содержит действительных чисел, значит, это уравнение не имеет корней. Область определения уравнения (2) находится из решения системы и составляет единственное число Проверим, является ли
значит, Ответ: Уравнения, решаемые с помощью учета свойств ограниченности входящих функций.
Заметим, что для Имеем
Из уравнения (2’) следует, что Значит Ответ: Уравнения, решаемые с помощью учета области определения и множества значений входящих в уравнение функции Решим уравнение: Область определения уравнения:
Если Итак, получили, что при Вывод: решений нет Ответ: Ø
Уравнения, решаемые домножением на некоторую функцию обеих частей. Рассмотрим уравнение Умножим обе части уравнения на Тогда уравнение (1) будет равносильно системе
Числа 1 и 2 удовлетворяют уравнению (1), значит, являются его корнями. Ответ:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|