Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Задачи контрольной работы № 2

Задача 1

Найти предел:

3x² + 11x + 10 x – 1 ^{3 –}^x/2

а) lim; г) lim;

x→ -2 - x→∞ x + 3

x (sin 5x + sin 6x) lg (x + 1)

б) lim; д) lim;

x→0 x→0 sin 2x

tg² 3x

в) lim; е) lim (e^3x – e^2x) ∙ ctg 4x

x→0 x→0

Решение:

а) Функция, предел которой при х→ -2 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применить теорему о пределе частного ([2], гл.6. § 5 теорема4) в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при х→ -2 равен нулю.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение , сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:

3х² + 11х + 10 (3х + 5)(х + 2)()

= =

()()

(3х + 5)(х + 2)() (3х +5)(х + 2)()

(х + 7) – (3 – х) 2(х + 2)

Сокращая теперь числитель и знаменатель последней дроби на общий множитель х + 2, получим новую функцию (3х + 5)()

у =,

которая отличается от данной значением лишь в одной точке х = -2: данная функция в этой точке не определена, а новая определена и непрерывна как элементарная функция ([2], гл.5, § 3). Поскольку переопределение функции в одной точке не сказывается на значении предела и поскольку для функции, непрерывной в точке х₀, ее предел при х→х₀ равен значению этой функции в точке х₀ ([2], гл.6, §7), то

3x² + 11x + 10 (3х + 5)() (3 ∙ (-2) + 5)(

lim = lim = = - .

x→-2 x→-2 2 2

б) И в этом примере начнем преобразования с умножения числителя и знаменателя дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:

х(sin 5x + sin 6x) x(sin 5x + sin 6x)()

= =

(1 + x ∙ tg x) – (1 - x ∙ tg x)

x(sin 5x + sin 6x)() (sin 5x + sin 6x)()

= = =

2x ∙ tg x 2x ∙ tg x

sin 5x + sin 6x cos x

= ∙ ∙ ().

sin x 2

Заметим, что пределы в нуле второго и третьего сомножителей как непрерывных в нуле функций равны их значениям в этой точке:

cos x

lim = ½; lim () = 2

x→0 2 x→0

Чтобы найти предел первого сомножителя, разделим его числитель и знаменатель на х:

sin 5x + sin 6x sin 5x sin 6x

sin 5x + sin 6x x x x

= =

sin x sin x sin x

x x

Предел sin x

lim = 1

x→0 x

есть первый замечательный предел ([2], гл.6, § 6). Пределы легко

сводятся к нему. Например,

и после замены t = 5х:

sin 5x sin t

lim = lim = 1

x →0 5x x →0 t

sin 5x sin 6x

Следовательно, lim = 5. Аналогично, lim = 6. Теперь с помощью теорем о пре-

x →0 x x →0 x

деле частного и суммы ([2], гл.6, § 5, теорема 2,4) вычисляем предел первого сомножителя:

sin 5x sin 6x

lim + lim

sin 5x + sin 6x x →0 x x →0 x 5 + 6

lim = = = 11

x →0 sin x sin x 1

lim

x →0 x

Воспользовавшись, наконец, теоремой о пределе произведения ([2], гл. 6, § 5, теорема 3), окончательно получаем: sin 5x + sin 6x cos x

lim ∙ ∙ () = 11∙ ½ ∙ 2 = 11

x →0 sin x 2

в) Избавляясь от иррациональности в знаменателе (так же, как и в предыдущих двух примерах) и применяя формулу 1 – cos 2x = 2sin²x, будем иметь:

tg²3x tg²3x ∙ ()

lim = lim =

x →0 x →0 2 – (3 – cos 2x)

tg²3x tg²3x

= lim () = lim ()

x →0 cos 2x – 1 x →0 - 2sin²x

Предел в нуле функции у = найдем, воспользовавшись непрерывностью этой элементарной функции в нуле:

lim () =

tg²3x

Предел в нуде функции у = найдем, разделив предварительно числитель и зна-

-2sin²x

менатель дроби в правой части равенства на х² и используя основные свойства предела:

tg²3x tg3x ² sin 3x ²

lim lim

tg²3x x² x →0 x x →0 x cos 3x

lim = - ½ ∙ lim = - ½ ∙ = - ½ ∙ =

x →0 -2sin²x x →0 sin²x sin x ² sin x ²

x² lim lim

x →0 x x →0 x

sin 3x 3 ²

lim ∙

x →0 3x cos 3x sin 3x 3 ² 3 ²

= - ½ ∙ = - ½ ∙ lim ∙ lim = - ½ ∙ 1 ∙ = - 9/2

1² x →0 3x x →0 cos 3x cos 0

Теперь, применяя теорему о пределе произведения, получим:

tg²3x tg²3x

lim = lim ∙ lim () =

x →0 x →0 -2 sin² x x →0

г) Прежде всего преобразуем основание данной степенно-показательной функции:

х – 1 х + 3 – 3 – 1 (х + 3) – 4 4

= = =1-

х + 3 х + 3 х + 3 х + 3

4 х + 3 1 4 4

Введем новую переменную t = -. Тогда - =, х + 3 = -, х = -3 -.

х + 3 4 t t t

Заметим, что предел функции t при х→+∞ равен нулю, то есть t→0 при х→+∞.

Следовательно,

В конце мы воспользовались теоремой о пределе произведения, следствием теоремы о пределе сложной функции ([2], гл.6, § 5), вторым замечательным пределом ([2], гл.6, §6) и непрерывностью в нуле функции у = (1 + t)^9/2

д) Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на х:

lg (x + 1)

lg (x + 1) x

sin 2x sin 2x

и рассмотрим пределы в нуле числителя и знаменателя получившейся большой дроби:

lg (x + 1) 1

lim = lim tg (x + 1) = lim lg (x + 1)^{1/ x}= lg lim (x + 1)^{1/ x}= lg e

x →0 x x →0 x x →0 x →0

и sin 2x 2sin 2x sin 2x

lim = lim = 2 ∙ lim = 2 ∙ 1 = 2.

x →0 x x →0 2x x →0 2x

Используя, наконец, теорему о пределе частного, получим:

lg (x + 1) lg (x + 1)

lim

x x →0 x lg e

lim = =

x →0 sin 2x sin 2x 2

x lim

x →0 x

е) Представим выражение под знаком предела в виде

e^x – 1

cos 4x e^x – 1 x

(e³^x – e²^x) ∙ ctg 4x = (e²^xe^x – e²^x) ∙ = e²^x ∙ ∙ cos 4x = e²^x ∙ ∙ cos 4x

sin 4x sin 4x sin 4x

Легко находим: lim e²^x = e⁰ = 1; lim cos 4x = cos 0 = 1;

x →0 x →0

sin 4x 4sin 4x sin 4x

lim = lim = 4 ∙ lim = 4 ∙ 1 = 4

x →0 x x →0 4x x →0 4x

е^х - 1

Для вычисления предела функции у = при x →0 введем новую переменную

t = e^x – 1. Тогда е^х = t + 1, x = ln (1 + t) причем предел в нуле непрерывной функции t = e^x – 1 равен значению функции в нуле: е⁰ – 1 = 1 – 1 = 0, то есть t→0 при x →0. Следовательно,

lim 1

e^x – 1 t 1 x →0 1 1

lim = lim = lim = = = = 1

x →0 x x →0 ln (1 + t) x →0 1/t ln (1 + t) lim ln (1 + t)^1/^t ln lim (1 + t)^1/^t ln e

x →0 x →0

Применяя теоремы о пределе произведения и частного, окончательно получаем:

e^x – 1

lim e^2x ∙ ∙ cos 4x = 1∙ ¼ ∙ 1 = ¼

x →0 sin 4x

Задача №2

Найти производную функции:

х⁷(1 – х)⁹ 1 + x√2 + x²

а) у =; в) у = ln;

1 + х 1 - x√2 + x²

x√2

б) y = ; г) y = arctg.

1 – x²

Решение:

а) Функция представляет собой частное двух функций. Ее производная по правилу дифференцирования частного ([2], гл. 7, § 3, формула 7.15) равна:

х⁷(1 – х)^{9 /} (х⁷(1 – х)⁹)^/ (1 + х) - х⁷(1 – х)⁹ (1 + х)^/

у^/ = =

1 + х (1 + х)²

Выражение х⁷(1 – х)⁹ есть произведение двух функций х⁷ и (1 – х)⁹. Применяя правило дифференцирования произведения ([2], гл. 7, §3, формула 7.12), имеем:

(х⁷(1 – х)⁹)^/ = (х⁷) ∙ (1 – х)⁹ + х⁷ ∙ ((1 – х)⁹)^/

Производная (х⁷)^/ = 7х⁶ ([2], гл. 7, §3, формула 7.8). Функция (1 – х)⁹ есть сложная функция, поэтому ее производная ([2], гл. 7, §4, формула 7.16) равна:

((1 – х)⁹)^/ = 9(1 – х)⁸(1 –х)^/ = 9(1 – х)⁸ ((1)^/ - (х)^/) = 9(1 – х)⁸ (0 – 1) = -9(1 – х)⁸

Производную функции (1 – х) нашли, используя формулы .

Аналогично, (1 + х)^/ = 0 + 1 = 1.

Собирая все результаты, получим:

(7х⁶(1 – х)⁹ – х⁷ 9(1 – х)⁸) (1 + х) – х⁷(1 – х)⁹ х⁶(1 – х)⁸ (7 – 10х – 15х²)

у = =

(1 + х)² (1 + х)²

б) Преобразуем нашу функцию

у =

Это сложная функция. Взяв за аргумент и = 1 + tg³5x и применяя последовательно формулы ([2], гл. 7, §3,4, формулы 7.20, 7.11), получим:

у^/ = ^/ = =

Снова, применяя формулу 7.16 (с аргументом и = tg5x) и формулы 7.19, 7.30 ([2], гл. 7,

§ 3,4), имеем:

1 15 tg²5x

(tg³5x)^/ = 3 tg²5x (tg 5x)^/ = 3 tg²5x (5x)^/ =

cos²5x cos²5x

Окончательно получим:

15 tg²5x

у^/ =

2 ∙ cos²5x

в) Наша функция есть сложная логарифмическая, в которой аргументом является выра-

1 + х√2 + х²

жение и =. Применив формулу 7.16 ([2], гл. 7, §4), получим:

1 - х√2 + х²

1 + х√2 + х^{2 /} 1 1 + х√2 + х^{2 /}

у^/ = ln =

1 - х√2 + х² 1 + х√2 + х² 1 - х√2 + х²

1 - х√2 + х²

Далее нам нужно найти производную частного двух функций по формуле 7.15([2], гл. 7,

§ 3), имеем:

1 + х√2 + х^{2 /} (1 + х√2 + х²)^/ (1 - х√2 + х²) – (1 + х√2 + х²)(1 - х√2 + х²)^/

= =

1 - х√2 + х² (1 - х√2 + х²)²

(√2 + 2х)(1 – х√2 + х²) – (1 + х√2 + х²)(√2 + 2х) 2√2 - 2√2х²

= =

(1 – х√2 + х²)² (1 – х√2 + х²)²

Окончательно получим:

1 – х√2 + х² 2√2 - 2√2х² 2√2 (1 – х²) 2√2 (1 – х²)

у^/ = ∙ = =

1 + х√2 + х² (1 – х√2 + х²)² (1 + х²)² – (х√2)² 1 + х⁴

х√2

г) По формуле 7.16 ([2], гл. 7, §4), приняв за аргумент выражение и =,

получим: 1 – х²

x√2 ^/ 1 x√2 ^/

у^/ = arctg =

1 – x² x√2 ² 1 – x²

1 +

1 – x²

Воспользовавшись формулой производной для частного двух функций и делая необходимые преобразования, получим:

1 (x√2)^/ (1 – х²) - x√2 (1 – х²)^/ (1 – х²)² √2 (1 – х²) - х√2 (-2х)

у^/ = ∙ = ∙ =

(x√2)² (1 – х²)² (1 – х²)² + 2х² (1 – х²)²

1 +

(1 – х²)²

√2 - √2х² + 2√2х² √2 (1 + х²)

= =

1 – 2х² + х⁴ + 2х² 1 + х⁴

Задача 3

23x + 8

Вычислить приближенное значение функции f (x) = ln в точке х₁ = 0,023,

7х + 8

заменив приращение функции в точке х₀ = 0 ее дифференциалом.

Решение

Если приращение аргумента ∆х = х₁ – х₀ достаточно мало по абсолютной величине, то приращение функции ∆f = f (x₁) – f (x₀) приближенно равно дифференциалу функции df. Поэтому справедлива формула 9.5 ([2], гл.9, §2)

f (x₀ + ∆x) ≈ f (x₀) + f ^/ (x₀) ∆x.

23x + 8

Для вычисления приближенного значения функции у = ln в точке х₁ = 0,023

7х + 8

вычислим производную этой функции в точке х₀ = 0:

23x + 8 ^/ 128

f ^/(x) = ln =;

7х + 8 (23x + 8)(7x + 8)

f ^/(x) = f ^/(0) = 128 / 64 = 2

Подставив в формулу 9.2, получим:

f (0,023) ≈ ln 1 + 0,023 ∙ 2 = 0,046.

Задача 4

5х + 9

Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение

1. Область определения данной функции – вся числовая ось, то есть интервал (-∞; +∞), так как выражение 5х + 9

f (x) =

в правой части аналитического задания функции имеет смысл при любом действительном х.

2. Как элементарная функция данная функция является непрерывной в каждой точке своей области определения, то есть в каждой точке числовой оси.

3. Найдем все асимптоты графика данной функции.

Вертикальных асимптот график данной функции у = f (x) не имеет, поскольку последняя непрерывна на всей числовой оси ([2], гл.8, § 7).

Для отыскания наклонной асимптоты при х→+∞ вычислим следующие два предела

k = lim y/x и b = lim (y – kx)

x→+∞ x→+∞

Если оба они существуют и конечны, то прямая у = kx + b является наклонной асимптотой при х→+∞ графика функции у = f (x) ([2], гл. 9, § 7).

Прежде чем обращаться к вычислению указанных пределов, напомним тождество *

Приступая к вычислению первого предела, разделим числитель и знаменатель дроби на х², затем воспользуемся равенством (*) и основными свойствами предела:

5x + 9 5 9 5 9

+ +

y 5x + 9 x² x x² x x² 5 ∙ 0 + 9 ∙ 0

k = lim = lim = lim = lim = lim = = 0

x→+∞ x x→+∞ x√x² + 3 x→+∞ x√x² + 3 x→+∞ √x² + 3 x→+∞ √1 + ³/x² √ 1+ 3 ∙ 0

x² x

Для вычисления второго предела разделим числитель и знаменатель дроби на х и, действуя далее аналогично тому, как и при вычислении первого предела, получим:

5x + 9

5x + 9 x 5 + ⁹/_x 5 + 9 ∙ 0

b = lim (y – kx) = lim y = lim = lim = lim = = 5

x→+∞ x→+∞ x→+∞ √x² + 3 x→+∞ √x² + 3 x→+∞ √1 + ³/x² √1 + 3 ∙ 0

Следовательно, прямая у = 5 является наклонной асимптотой графика данной функции при х→+∞ (поскольку угловой коэффициент k этой прямой равен нулю, то такую наклонную асимптоту называют также горизонтальной при х→+∞).

Для отыскания наклонной асимптоты при х→-∞ вычислим пределы

k₁ = lim y/x и b₁ = lim (y – kx)

х→+∞ х→+∞

Если оба они существуют и конечны, то прямая y = k₁x + b₁ является наклонной асимптотой при х→-∞.

Для вычисления этих пределов используем те же приемы, что и выше, учитывая только на сей раз, что . Теперь, в частности, для отрицательных значений аргумента имеем:

√х² + 3 √х² + 3 х² + 3 3

= = -√ = - √ 1 +

х -√х х² х²

и следовательно, k₁ = 0, b₁ = -5

то есть наклонной (горизонтальной) асимптотой при х→-∞ на сей раз является прямая у = -5. Изобразим пунктиром найденные асимптоты на предварительном чертеже (рисунок2):

Рисунок 2

4. Найдем точки пересечения графика данной функции с осями координат и установим участки ее знакопостоянства.

Для отыскания абсцисс точек пересечения графика с осью ОХ решим уравнение

5х + 9

= 0

Его единственным решением, очевидно, является х = -1,8. Причем, в силу положительности знаменателя при любом х ясно, что

f (x) > 0 при х > -1,8

f (x) < 0 при х < -1,8

Таким образом, точка А (-1,8; 0) является единственной точкой пересечения графика функции с осью ОХ, а для х из интервалов (-∞; -1,8) и (-1,8; +∞) соответствующие точки графика функции расположены, соответственно, ниже и выше оси абсцисс.

Точка пересечения графика функции у = f (x) с осью ОУ – это всегда точка (0; f(0)), если только нуль входит в область определения функции. В нашем случае такой точкой является

В (0; ⁹/_√3), где ⁹/_√3= ^9√3/₃= 3√3 ≈ 5,20.

Полученные в результате исследования точки А и В изобразим на предварительном чертеже (рисунок 2)

5. Приступим теперь к отысканию точек экстремума данной функции и участков ее монотонности.

Вычислим сначала ее производную:

5√х² + 3 – (5х + 9) х

√х² + 3 5(х² + 3) – х(5х + 9) 3(5 –3х)

у^/ = = =

х² + 3 (х² + 3) √х² + 3 (х² + 3) ^½

Решая уравнение у^/ = 0, получим единственный корень производной: х = ⁵/₃ ≈ 1,67

Таким образом, необходимое условие экстремума ([2], гл.8,§ 4) выполняется лишь в точке

х = 5/3. Эта точка разбивает ось абсцисс на два интервала (-∞; ⁵/₃) и (⁵/₃; +∞)

знакопостоянства производной. Для определения знака производной в каждом интервале (пользуясь ее непрерывностью) определим знак производной в одной какой-либо точке каждого интервала. Так как 15 -3

f^/(0) = > 0 и f^/(2) = < 0

√27 √343

то заключаем, что функция возрастает на интервале (-∞; ⁵/₃) и убывает на интервале (⁵/₃; +∞), и значит точка х = ⁵/₃ является точкой максимума данной функции ([2], гл.8 § 4). Значение функции в этой точке (то есть максимум функции) равно

5 ∙ ⁵/₃ + 9 52

f (⁵/₃) = = = √52 ≈ 7.21

√(⁵/₃)² + 3 √52

Отметим на чертеже вершину С (⁵/₃; √52) графика данной функции (рисунок 2).

6. Наконец, обратимся к исследованию данной функции на выпуклость, вогнутость и существование точек перегиба.

С этой целью найдем производную второго порядка данной функции:

-3(х² + 3)^3/2 – (5 – 3х) ∙ ³/₂ ∙ (х² + 3) ^½∙ 2х 3(х² + 3) ^½[-(х² + 3) – х(5 – 3х)]

у^/ = (у)^/ = 3 ∙ = 3 ∙ =

(х² + 3)³ (х² + 3)³

9(2х² – 5х – 3)

(х² + 3)^5/2

Решая затем уравнение у^// = 0, эквивалентное квадратному уравнению 2х² – 5х – 3 = 0, находим его корни: х₁ = -0,5; х₂ = 3, которые разбивают область определения функции на три интервала знакопостоянства второй производной: (-∞; -0,5), (-0,5; 3), (3; +∞). Для определения знака производной второго порядка в каждом из этих интервалов определим ее знак в какой-либо точке соответствующего интервала:

9 ∙ (2 + 5 - 3)

f^//(-1) = = ⁹/₈ > 0

√(1 + 3)⁵

9 ∙ (-3) 27 3

f^//(0) = = - = - = -√3 < 0

√3⁵ 9√3 √3

9 ∙ (32 – 20 – 3) 81

f^//(4) = = > 0

√19⁵ 19² √19

Из полученных неравенств вытекает, что график функции является выпуклым на интервале

(-0,5; 3) и вогнутым на интервалах (-∞; -0,5) и (3; +∞) ([2], гл.8 § 6), и значит точки

D (-0,5; f(-0.5)) и Е (3; f(3)), согласно определению ([2], гл.8 § 6), являются точками перегиба графика данной функции. Осталось найти ординаты этих точек:

-⁵/₂ + 9 13

f (-0,5) = = = √13 ≈ 3,61

√¹/₄ + 3 √13

15 + 9 24 12

f (3) = = = = 4√3 ≈ 6,93

√9 + 3 2√3 √3

Точки D и E также отметим на рисунке 2.

Учитывая результаты полного исследования, соединим непрерывной кривой все ранее отмеченные точки предварительного чертежа так, чтобы эта кривая слева и справа неограниченно приближалась к асимптотам у = -5 и у = 5, соответственно (рисунок3)

Рисунок 3