Частная производная, полный дифференциал ФНП. Связь дифференцируемости функции с существованием частных производных
Лекция 3 ФНП, частные производные, дифференциал
Что главное мы узнали на прошлой лекции
Мы узнали, что такое функция нескольких переменных с аргументом из евклидова пространства. Изучили, что такое предел и непрерывность для такой функции
Что мы узнаем на этой лекции
Продолжая изучение ФНП, мы изучим частные производные и дифференциалы для этих функций. Узнаем, как написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
Частная производная, полный дифференциал ФНП. Связь дифференцируемости функции с существованием частных производных
Для функции одной вещественной переменной после изучения тем «Пределы» и «Непрерывность» (Введение в математический анализ) изучались производные и дифференциалы функции. Перейдем к рассмотрению аналогичных вопросов для функции нескольких переменных. Заметим, что если в ФНП зафиксировать все аргументы, кроме одного, то ФНП порождает функцию одного аргумента, для которой можно рассматривать приращение, дифференциал и производную. Их мы будем называть соответственно частным приращением, частным дифференциалом и частной производной. Перейдем к точным определениям.
Определение 10. Пусть задана функция
переменных
где
- элемент евклидова пространства и соответствующие приращения аргументов
,
,…,
. При
величины
, называются частными приращениями функция
. Полное приращение функции
- это величина
.
Например, для функции двух переменных
, где
- точка на плоскости и
,
соответствующие приращения аргументов, частными будут приращения
,
. При этом величина
является полным приращениями функции двух переменных
.
Определение 11. Частной производной функции
переменных
по переменной
называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению соответствующего аргумента
, когда
стремится к 0.
Запишем определение 11 в виде формулы
или в развернутом виде
. (2) Для функции двух переменных
определение 11 запишется в виде формул
,
. С практической точки зрения данное определение означает, что при вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные фиксируются и мы рассматриваем данную функцию как функцию одной выбранной переменной. По этой переменной и берется обычная производная.
Пример 4. Для функции
, где
найдите частные производные и точку, в которой обе частные производные равны 0.
Решение. Вычислим частные производные
,
и систему
запишем в виде
Решением этой системы являются две точки
и
.
Рассмотрим теперь, как понятие дифференциала обобщается на ФНП. Вспомним, что функция одной переменной
называется дифференцируемой, если ее приращение
представляется в виде
, при этом величина
является главной частью приращения функции и называется ее дифференциалом. Величина
является функцией от
, обладает тем свойством, что
, т. е.
является функцией, бесконечно малой по сравнению с
. Функция одной переменной дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда имеет производную в этой точке. При этом константа
и равна этой производной, т. е. для дифференциала справедлива формула
.
Если рассматривается частное приращение ФНП
, то меняется только один из аргументов, и это частное приращение можно рассматривать как приращение функции одной переменной, т. е. работает та же теория. Следовательно, условие дифференцируемости
выполнено тогда и только тогда, когда существует частная производная
, и в этом случае частный дифференциал определяется формулой
.
А что же такое полный дифференциал функции нескольких переменных?
Определение 12. Функция
переменных
называется дифференцируемой в точке
, если ее приращение
представляется в виде
. При этом главная часть приращения называется дифференциалом ФНП.
Итак, дифференциалом ФНП является величина
. Уточним, что мы понимаем под величиной
, которую мы будем называть бесконечно малой по сравнению с приращениями аргументов
. Это функция, которая обладает тем свойством, что если все приращения, кроме одного
, равны 0, то справедливо равенство
. По сути это означает, что
= =
+
+…+
.
А как связаны между собой условие дифференцируемости ФНП и условия существования частных производных этой функции?
Теорема 1. Если функция
переменных
дифференцируема в точке
, то у нее существуют частные производные по всем переменным в этой точке и при этом
.
Доказательство. Равенство
запишем при
и
в виде
и раздели обе части полученного равенства на
. В полученном равенстве
перейдем к пределу при
. В итоге мы и получим требуемой равенство
. Теорема доказана.
Следствие. Дифференциал функции
переменных
вычисляется по формуле
. (3)
В примере 4 дифференциал функции
был равен
. Заметим, что этот же дифференциал в точке
равен
. А вот если мы его вычислим в точке
с приращениями
,
, то дифференциал будет равен
. Заметим, что
, точное значение заданной функции в точке
равно
, а вот это же значение, приближенно вычисленное с помощью 1-го дифференциала, равно
. Мы видим, что, заменяя приращение функции ее дифференциалом, мы можем приближенно вычислять значения функции.
А будет ли функция нескольких переменных дифференцируема в точке, если она имеет частные производные в этой точке. В отличии от функции одной переменной ответ на этот вопрос отрицательный. Точную формулировку взаимосвязи дает следующая теорема.
Теорема 2. Если у функции
переменных
в точке
существуют непрерывные частные производные по всем переменным, то функция
дифференцируема в этой точке.
Доказательство. Для наглядности рассмотрим функцию двух переменных и точки , , . Полное приращение функции в точке представим в виде и запишем
|
|
в виде
. В каждой скобке меняется только одна переменная, поэтому мы можем и там и там применить формулу конечных приращений Лагранжа. Суть этой формулы в том, что для непрерывно дифференцируемой функции одной переменной разность значений функции в двух точках равна значению производной в некоторой промежуточной точке, умноженному на расстояние между точками. Применяя эту формулу к каждой из скобок, получим
. В силу непрерывности частных производных производная
в точке
и производная
в точке
отличаются от производных
и
в точке
на величины
и
, стремящиеся к 0 при
, стремящихся к 0. Но тогда
и, очевидно,
. Теорема доказана.
4. Геометрический смысл дифференциала ФМП. Уравнение нормали и плоскости, касательной к поверхности ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1967648766841.files/image183.gif)
Мы видели в примере 4, что вычисление приближенного значения функции
с помощью дифференциала по формуле
дает хорошие результаты. Это приближение будет тем лучше, чем меньше приращения аргументов
.
Дадим соответствующую геометрическую трактовку. Пусть задана поверхность
и точка
(
) на этой поверхности. Рассмотрим точки пространства с координатами
, где
принадлежит области определения функции
, а координата
вычисляется из
. (4) Очевидно, что точки пространства, определяемые уравнением (4), образуют плоскость. Эта плоскость проходит через т.
на поверхности
и близка к точкам поверхности в районе этой точки. Такую плоскость разумно назвать касательной плоскостью. Возможны и другие определения, но мы дадим определения, исходя из такого подхода.
Определение 13. Пусть задана поверхность
и точка
, принадлежащая этой поверхности. Если функция
дифференцируема в точке
, то плоскость, определяемая уравнением (4), называется касательной плоскостью к поверхности в указанной точке.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала ФНП. Приближение функции двух переменных с помощью дифференциала – это замена значения заданной функции соответствующей аппликатой касательной плоскости, т. е. значения
.
Мы знаем, что вектор
является вектором нормали к плоскости
. Следовательно, вектор
является вектором, перпендикулярным плоскости (1). Это позволяет в конкретной ситуации найти не только уравнение касательной плоскости, но и уравнение нормали
, т. е. уравнение прямой, проходящей через заданную точку поверхности, перпендикулярно ее касательной плоскости.
Пример 5. Пусть задана поверхность
и точка
. Проверьте, что эта точка принадлежит поверхности. Напишите уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в указанной точке.
Решение. Действительно,
. Мы уже вычисляли в прошлой лекции дифференциал этой функции
в произвольной точке, в заданной точке он равен
. Следовательно, уравнение касательной плоскости запишется в виде
или
, а уравнение нормали - в виде
.
Воспользуйтесь поиском по сайту: